2024-2025学年江苏省邗江中学高一下学期3月阶段测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省邗江中学高一下学期3月阶段测试数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sinπ12的值是( )
A. 6+ 24B. 6− 24C. − 6+ 24D. − 6− 24
2.已知平面向量a=3,1,b=x,−3，且a//b，则x=( )
A. −9B. −1C. 1D. 3
3.函数f(x)=x+lg(x−1)−3零点所在的整区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
4.已知向量a，b，的夹角为60 ∘，a=2，b=3，则a2+a⋅b=( )
A. 10B. 10C. 7D. 7
5.已知sinα−π6=34，则sin2α−5π6=( )
A. 18B. −18C. 78D. −78
6.在平面直角坐标系中，动点A在以原点为圆心，1为半径的圆上，以2rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点B在以原点为圆心，2为半径的圆上，以1rad/s的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动．A、B分别以A00,1、B02,0为起点同时开始运动，经过ts后，动点A、B的坐标分别为x1,y1、x2,y2，则y1+x2的最小值为( )
A. −3B. −2C. −32D. −1
7.已知sin(π3+α)+sinα=4 35，则sin(α+7π6)的值是
A. −2 35B. 2 35C. 45D. −45
8.已知函数fx=msin12x−π4−sinx+2在π2,2π上有两个不同的零点，则m的取值集合是( )
A. −∞,−3B. −3,−2 2C. −3,−2 2D. −2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=−3,2，b=2,1，c=λ,−1，λ∈R，则( )
A. 若a+2b⊥c，则λ=4
B. 若a=tb+c，则λ+t=−6
C. a在b方向上的投影向量的坐标为1213,−813
D. 若向量a+b与向量2b+c的夹角为锐角，则λ的取值范围是−∞,−1
10.下列选项中，值为14的是( )
A. sinπ12sin5π12B. 1sin50 ∘+ 3cs50 ∘
C. cs72∘⋅cs36∘D. 33sinπ6−sin2π12
11.如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为AB⌢上的任意一点，则下列结论正确的是( )
A. OE⋅AB的最小值为0B. EA⋅EB的最小值为1− 2
C. EC⋅ED的最大值为1D. EC⋅ED的最小值为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在▵ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若EB=34AB+λAC，则λ= ．
13.已知tanαtanβ=2，cs(α−β)=13，则cs(α+β)= ．
14.在任意四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD，BC上，且AE=13AD，BF=13BC，AB=2，CD=6，EF=3，则AB与EF夹角的余弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量e1=(2,1)，e2=(2,−2)，AB=2e1+e2，BE=−e1+λe2，EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，其中点D的坐标为3,5，求点A坐标．
16.(本小题15分)
已知函数fx=2 3sinxcsx+2cs2x．
(1)求fx的最小正周期及单调递增区间；
(2)求fx在区间−π6,5π12上的最大值及相应的x的值．
17.(本小题15分)
已知α,β∈π6,2π3，且csα−π6=3 1010，sinβ+π3= 55．
(1)求sin2α的值；
(2)求α−β的值．
18.(本小题17分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BF=2FC，BE与AC，AF分别相交于M，N两点．
(1)若BE=λCB+μCA，求λ+μ的值；
(2)若AB=2AE=2 7，∠BAD=2π3，求|MN|；
(3)若BE⊥AF，求cs∠ACB的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sinx−csx．
(1)求方程f(α)=cs2α在[0,2π]上的解集；
(2)求证：函数y=f(x)+32lnx有且只有一个零点x0，且−230，所以F(x)>0
所以F(x)在x∈3π4,5π4没有零点
当x∈5π4,+∞时，5π4>54×3>e，所以32lnx>32> 2，所以F(x)>0
所以F(x)在x∈5π4,+∞没有零点
综上，F(x)=sinx−csx+32lnx在(0,+∞)有唯一零点x0
所以sinx0−csx0+32lnx0=0，且x0∈π4,π2，所以lnx0=23csx0−sinx0
所以lnx0+13sin2x0=23csx0−sinx0+13sin2x0=23csx0−sinx0+23sinx0csx0
令t=csx0−sinx0= 2csx0+π4，因为x0∈π4,π2，所以t∈(−1,0)
又t2=1−2sinx0csx0，则sinx0csx0=1−t22
所以lnx0+13sin2x0=23t+23⋅1−t22=−13(t−1)2+23∈−23,13