2025中考数学二轮复习-线段中的动点问题及新题型整理-专项训练【含答案】

这是一份2025中考数学二轮复习-线段中的动点问题及新题型整理-专项训练【含答案】，共42页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知有理数a，b满足∶ ．如图，在数轴上，点O是原点，点A所对应的数是a，线段在直线上运动（点B在点C的左侧），且，下列结论：

①，；
②当点B与点O重合时，；
③当点C与点A重合时， 若点P是线段延长线上的点， 则；
④在线段运动过程中，若M为线段的中点，N 为线段的中点，则线段的长度不变． 其中正确的有 个．
二、解答题
2．【新知理解】
点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段．
例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”．
（1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________；
（2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”）
【解决问题】
如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4；
（3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________；
（4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________．
3．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．
(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．
(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
4．【观察思考】
（1）如图，已知点A、B、C、D在直线l上．请你写出图中以A、B、C、D为左端点的线段；
【总结归纳】
（2）若一条线段上有m个点（包括两个端点），则该线段上共有多少条线段？请填写下表，并说明结论的正确性；
【解决问题】
（3）某班40名同学在一次跳绳比赛中，若每两人都要进行一场比赛，则共比赛多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
5．在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段．
(1)点B表示的数为___________；
(2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度．
6．已知有理数，满足：．如图，在数轴上，点是原点，点所对应的数是，线段在直线上运动（点在点的左侧），
(1)________，________；
(2)①当点与点重合时，________；
②当点与点重合时，若点是线段延长线上的点，探索、、之间的数量关系；
(3)在线段运动过程中，若为线段的中点，为线段的中点，则线段的长度是定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
7．追本溯源
题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）．
（1）如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段与，点M叫做线段AB的 ， AB．
拓展延伸
（2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，．
①求线段AB的长；
②求线段DE的长．
8．数学课上，王老师在黑板上写出了一道题让大家回答，题目如下：
在直线上取A，，三点，使得，；如果是线段的中点，那么线段的长度是多少？
学生小明读完题后，稍微一想就画出了如图所示图形，并进行了解答：
因为，是线段的中点，
所以______，
因为____________，，
所以______cm．
(1)请你帮助小明将其解答过程在横线上补充完整．
(2)学生小惠看完小明的解答后，对其产生了质疑，她认为小明对此题的考虑不全面，忽略了一种情况．请你把小明忽略的那种情况画出图形，并模仿（1）中的格式进行解答．
9．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数为，点B对应的数为100．
(1)请计算在数轴上与A、B两点距离相等的点M所对应的数；
(2)现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请计算点C对应的数．
(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/秒的速度也向左运动，问：多少秒后，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
10．探索材料1（填空）：
数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；
(1)则的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数______和______这两点的距离；
探索材料2（填空）：
(2)①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和，要在流水线上设一个材料供应点往两个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到的距离与到的距离之和最小？
②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点往三个加工点输送材料，材料供应点应设在______才能使到三点的距离之和最小？
(3)结论应用（填空）：
①代数式的最小值是______，此时的范围是______；
②代数式的最小值是______，此时的值为______；
③代数式的最小值是______，此时x的范围是______．
11．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点；
①若点C恰为的中点，则 ；
②若，则 ；
（2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；
12．在数轴上，点为原点，点表示的数为，动点在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于且小于），设点表示的数为．
(1)如图1，当动点在线段上移动时，
①若，且为中点时，则点表示的数为 ___________；
②若，求多项式的值；
(2)当线段在射线上移动时，且，用含的式子表示．
13．如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，．
(1)利用刻度尺或圆规，在图①数轴上画出原点；
图①
(2)在图②数轴上分别画出表示数和的点，并且比较与的大小．（画图时可作适当的文字说明）
图②
14．计算
(1)已知：代数式的值与x的取值无关，且．
①求的值；
②求代数式的值．
(2)已知方程的解也是关于x的方程的解．
①求的值；
②如图，已知直线l上有两点（点A在点B的左边），且，在直线l上增加两点C，D（点C在点D的左边），作线段的中点M，作线段的中点N，若线段，求线段的长度．
15．如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
(1)________，________，________．
(2)点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________．
(3)若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示）
(4)的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
16．如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，．
(1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
(2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点．
当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由．
当时，直接写出的长度（用m，n表示）．
17．如图，点是线段上一点，、分别是线段、的中点，当时，求线段的长度．
(1)下面是小丽的解答过程，请你补充完整．
解答过程
因为点、分别是线段、的中点，
所以，①
．②
①②得， ．
(2)小丽进行题后反思，提出新的问题：如果点O 运动到线段的延长线上，的长度是否会发生变化? 请你画出示意图，并说明理由．
18．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．

(1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；
(2)当时，求t的值；
(3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
19．如图，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点．
(1)若，则________；
(2)小张同学发现线段在线段上运动时，的长度始终不变，你认为小张同学说的对吗？请说明理由．
20．已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，
(1)若，，线段DE在线段上移动，
①如图1，当E为中点时，求的长；
②当点C是线段的三等分点时，求的长；
(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求．
21．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点．
(1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________．
(2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由．
22．如图，P是线段（端点A，B除外）上任一点，，C，D两点分别从P，B两点同时向A点运动，且C点的运动速度每秒2个单位长度，D点的运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)填空：若，运动1s后， _______；
(2)若，当D点在线段上运动时，试说明；
(3)当，时，求线段的长度．
23．（1）已知线段，点线段的中点，点是线段的中点，求：
①如图1，若点为线段上任意一点，求线段的长度；
②如图2，若点为线段延长线上任意一点，线段的长度会发生变化吗？请说明理由．
（2）如图3，若点为线段延长线上一点，点线段的中点，点是线段上的一点，且．求：的值．
24．如图，线段在射线上运动，，且．
(1)求线段、的长；
(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；
(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．
25．点、在数轴上所表示的数如图所示，是数轴上一点：
(1)将点在数轴上向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，得到点，求出、两点间的距离是多少个单位长度．
(2)若点在数轴上移动了个单位长度到点，且、两点间的距离是4，求的值．
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由：若不变，请你画出图形，并求出线段的长度．
26．如图①，已知点C在线段AB上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点．
(1)求线段的长度；
(2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度；
(3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时：
①点P恰好为线段的中点？
②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外）
27．如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒．
(1)当时，①______，②此时线段的长度______；
(2)用含有t的代数式表示运动过程中的长；
(3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由．
点个数
2
3
4
5
…
m
线段条数
1
3
6
___
…
____
参考答案
1．3
【分析】本题考查了绝对值的非负性、数轴上两点之间的距离、用有理数表示数轴上的点等知识点．①根据即可求解判断；②由①得，故C对应的数是2，即可判断；③设点P对应的数是x，则，，，即可判断；④设B表示的数为，则C表示的数为， 可得M表示的数为，N表示的数为，即可判断；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
故①正确；
∴，
当点B与点O重合时，点B在点C的左侧，
∴C对应的数是2，
∴，
故②错误；
当点C与点A重合时，点C对应的数是4，点B对应的数是2，
设点P对应的数是x，
则，，，
∴，
故③正确；
设B表示的数为，则C表示的数为，
∵M为线段的中点，
∴M表示的数为，
∵N为线段的中点，A表示的数是4，
∴N表示的数为
∴，
故④正确，
∴正确的是①③④，有3个．
故答案为：3．
2．（1）9；（2）；（3）；（4）或10
【分析】本题主要查了线段的和与差：
（1）根据“优点”的定义解答，即可求解；
（2）根据“优点”的定义解答，即可求解；
（3）根据“优点”的定义可得，即可求解；
（4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解．
【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且，
∴，
∴；
故答案为：9
（2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点），
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（3）∵点表示的数为4，
∴，
∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，
∴，
∴；
故答案为：
（4）∵点表示的数为1，点表示的数为4，
∴，
∵线段与互为“优点”伴侣线段，
当时，，
∴点G表示的数为，
当时，，
∴点G表示的数为10，
综上，点G表示的数为或10．
故答案为：或10
3．(1)或
(2)
(3)是，见解析
【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则．
（1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长；
（2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长；
（3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，，
，
解得：，
，
若，则有以下两种情况，
①当点C在点B的左侧时，如图1①所示：
，
，
；
②当点C在点B的右侧时，如图1②所示：
，
；
综上所述：线段的长为或．
（2）解：设，如图2所示：
，
∵点分别是线段的中点，
， ，
∴，
∴；
（3）解：为定值，理由如下：
设，
∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，
∴点C在线段上，
又∵点P在线段的延长线上，如图3所示：
∴，
∴，
∴．
∴为定值．
4．（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段；（2）10，，见解析；（3）780次
【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键；
（1）按照两点确定一条线段，分别按A、C、D、B为左端点的线段进行即可；
（2）完成表格填写，找出规律即可说明结论正确；
（3）把问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题，直接代入（2）中的结论即可求解．
【详解】解：（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段；
（2）表格完成如下
从左往右，以第一个点为左端点的线段有条，以第二个点为左端点的线段有条，以第三个点为左端点的线段有条，……，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段没有，则共有条；
故答案为：10，；
（3）问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题，
所以当时，（次）；
答：每两人都要进行一场比赛，则共比赛780次．
5．(1)5
(2)4或8
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据两点间的距离公式计算即可得解；
（2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解．
【详解】（1）解：∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段，
∴点B表示的数为．
（2）解：当点N在线段上时，如答图①，
∵，，
∴，
∴；
当点N在线段的延长线上时，如答图②，
∵，，
∴．
综上所述，的长度为4或8．
6．(1)6，3；
(2)①3；②；
(3)线段的长度是定值， ．
【分析】此题主要考查非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段的中点，理解非负数的性质，线段中点的定义，熟练掌握数轴上两点间的距离，线段的计算是解决问题的关键．
（1）根据非负数的性质得，据此可得a，b的值；
（2）①依题意得点A所对应的数是6，，得点C所对应的数为3，可求；②当点与点重合时，点B所对应的数为3，设在数轴上点P所对应的数为，得，进而可得；
（3）由(2)可知点A所对应的数是6，，设点B所对应的数为t，则点C所对应的数为，再根据点为线段的中点，为线段的中点，得点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，据此可的长．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：6，3；
（2）解：①，点所对应的数是，
，点所对应的数是6，
点在点的左侧，
点C所对应的数为3，
，
故答案为：3；
②当点与点重合时，
，
点B所对应的数为3，
点是线段延长线上的点，
设在数轴上点P所对应的数为，
，
，即，
、、之间的数量关系满足；
（3）解：线段的长度是定值，；
理由如下：由(2)可知∶点A所对应的数为6，
设在数轴上点B所对应的数为t，
点B在点C的左侧，，
点C所对应的数为，
为线段的中点，为线段的中点，
点所对应的数为，点N所对应的数为∶ ，
．
7．（1）中点；；（2）①；②
【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键．
（1）根据线段中点的定义即可得到答案；
（2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案；
【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与，
∴由中点定义知，点M叫做线段的中点，
∴，
故答案为：中点，；
（2）①∵，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了线段的和差和线段的中点的定义，解题关键是掌握各点之间的位置关系．
（1）先计算，再根据线段之间的和差关系进行加减即可；
（2）画出图形后利用即可求解．
【详解】（1）解：因为，是线段的中点，
所以，
因为，，
所以cm．
（2）解：如图所示：
因为，是线段的中点，
所以，
因为，，
所以cm．
9．(1)40
(2)28
(3)50秒或70秒
【分析】本题主要考查中点坐标、两点之间的距离和分类讨论思想的应用，
（1）根据两点之间的距离和中点距离即可．
（2）先求的两点的相遇时间，再求得点Q运动路程，即可求得点C对应的数．
（3）分为相遇前和相遇后分别求解即可．
【详解】（1）解：点M对应的数为．
（2）解：它们的相遇时间是（秒），
∴相同时间点Q运动路程为：，
，
∴点C对应的数为28．
（3）解：相遇前：（秒），
相遇后：（秒）．
故当它们运动50秒或70秒时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
10．(1)6，，x,
(2)①点A和点B之间；②点B上
(3)①7，②；③
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离最值问题，掌握数轴上两点之间的距离公式、绝对值的性质是解题的关键．
（1）探索材料1（填空）：根据给出的材料填写即可；
（2）探索材料2（填空）：分情况讨论点P的位置，使点P到其他点的距离之和最小；
（3）结论应用（填空）：根据探索材料2得出的结论填写即可．
【详解】（1）∵
故答案为：
（2）①（i）当点P在点A左边时，
（ii）当点P在点A与点B之间时，
（iii）当点P在点B右边时，
∴当点P在点A和点B之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小．
故答案为：点A和点B之间
②（i）当点P在点A左边，，
（ii）当点P在点A和点B之间，，
（iii）当点P在点B和点C之间，
（iv）当点P在点C右边，
∴最小值为，当点P在点B上时，值最小为
∴当点P在点B上时，才能使P到A，B，C三点的距离之和最小
故答案为：点B上．
（3）①由探索材料2得，当时，有最小值，最小值为
②由探索材料2得，这是在求点x到三个点的最小距离，
∴当时，有最小值，最小值为
③由探索材料2得，这是在求点x到四个点的最小距离，
∴当时，有最小值，最小值为
故答案为：①②③
11．（1）①6；② 6；（2）
【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．
（1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答；
（2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴；
②∵，，
∴,
∵D、E分别是、的中点,
∴,,
∴，
故答案为：6，6；
（2）∵点D、E分别是、的中点，
∴，
∴．
故答案为：．
12．(1)①；②
(2)或
【分析】本题主要考查了列代数式和数轴，解题的关键是找到等量关系，列出代数式，注意运用分类讨论的数学思想解答（2）题．
（1）①运用两点间的距离公式求解；②根据得到，然后整体代入求值；
（2）分类讨论：点在线段上和点在线段上两种情况．
【详解】（1）解：①∵点表示的数为，为中点，
∴，
∵，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：；
②∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图1，
当点位于原点左侧时，，，，
由题意，得：，
解得：；
如图2，
当点位于原点右侧时，由题意，得：
，
解得：；
综上可知，或．
13．(1)见解析
(2)图见解析，．
【分析】本题考查了整式的加减，数轴等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键．
（1）以所在点为原点，到的距离为半径即可在数轴上画出原点；
（2）利用尺规作图作出表示的点和表示的点，现根据点和点在数轴上的位置即可比较与的大小．
【详解】（1）解：∵，
∴，表示的点之间为1个单位长度，先用刻度尺或圆规量出，两点间的距离，再从右侧画出距离1个单位长度的点，这个点就是原点；如图所示：
；
（2）解：如图，∵，，
∴作，，则点表示，
作，则点表示，
∴．
14．(1)①，②
(2)①；②或．
【分析】本题考查两点间的距离以及线段中点，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是解答的关键．
（1）①去括号、合并同类项后，令x项的系数为0即可；
②整体代入计算即可；
（2）①解方程可求出m的值；再将代入关于x的方程可求出n的值；
②根据线段中点的定义以及线段之间的和差关系进行计算即可．
【详解】（1）（1）①
，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴，
即；
②当可变为，
即，
∴
；
（2）①方程的解为，
把x=10代入关于x的方程，得，
解得，
即，；
②如图1，∵点M是的中点，点N是的中点，
∴， ，
∴，
即，
∴，
即，
∴；
如图2，∵点M是的中点，点N是的中点，
∴，，
∴
，
即，
∴，
综上所述，或．
15．(1)；；
(2)8；
(3)；
(4)的值不变，且
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类：
（1）最多的负整数为，则，再由绝对值的非负性得到，则；
（2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，则，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为；
（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（4）根据（3）所求计算出的结果即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
（3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（4）∵，，
∴
，
∴的值不变，且．
16．(1)，
(2)或或
【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题；
（1）由线段关系可求，，即可求解；
（2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解；
当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求；
掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）解：，，
，
，
点A表示的数为，点B表示的数为；
故答案：，；
（2）解：，理由如下：
如图，当在的左边时，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，，
；
如图，当在、之间时，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，，
；
如图，当在之间右边时，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，，
；
综上所述：；
第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边，
点M是线段的中点，点N是线段的中点，
，，则，
；
；
第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，
∴，
；
第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，
∴
；
第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，
∴
；
第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，则，
∴
；
第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边，
∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，
∴，，
∴
；
综上所述，或或．
17．(1)，，，6
(2)不会发生变化，画出示意图见解析，理由见解析
【分析】本题考查了线段中点的定义，和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）因为点是线段的中点，所以，，已知，可得的长；
（2）点运动到线段的延长线上，此时，可得的长，观察的长度是否变化．
【详解】（1）解：点、分别是线段、的中点，
，①
，②
①②得，，
故答案为：，，，6；
（2）解：没有发生变化
示意图为：
点、分别是线段、的中点，
，①
，②
①②得，，
没有发生变化，．
18．(1)2，；
(2)或；
(3)
【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面．
（1）根据点P的运动速度，即可求出；
（2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧；
（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．
【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，
所以当时，的长为2，
因为点 A 对应的有理数为，，
所以点P表示的有理数为；
（2）解：当，要分两种情况讨论，
点P在点B的左侧时，因为，所以，所以；
点P在点B的是右侧时，，所以；
（3）解：MN长度不变且长为5．
理由如下：当在线段上时，如图，

∵M为线段 的中点，N 为线段的中点，
∴，，
∴ ，
∵，
∴．
当在线段的延长线上时，如图，

同理可得：；
综上：．
19．(1)7
(2)小张同学说的正确，理由见解析
【分析】本题考查了两点间距离，线段中点相关的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
（1）先求出线段，然后再利用线段中点的性质求出，即可；
（2）利用线段中点的性质证明的长度不会发生改变．
【详解】（1）解： ∵，，，
，
、N分别是、的中点，
，，
；
故答案为：7；
（2）解：小张同学说的正确，的长度始终不变，
理由：∵，，
，
、N分别是、的中点，
，，
，
．
即小张同学说的正确，的长度为，始终不变．
20．(1)①7；②或
(2)或．
【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
（1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段DE的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论．
【详解】（1）∵，
∴，
①∵E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵点C是线段DE的三等分点，，
∴或，
∴或，
∴或；
（2）当点E在线段之间时，如图，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设，同理，
设，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
21．(1)；
(2)不会，的长为定值
【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案；
（2）分及两种情况分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0，
根据题意可知：，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
若点P表示的有理数是6，
，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
故答案为：；；
（2）解：的长不会发生改变；
设点表示的有理数为（且），
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
当时，，，
M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点，
，
；
综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值．
22．(1)7
(2)见解析
(3)或11
【分析】本题考查两点间的距离，线段的和与差：
（1）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系进行计算即可；
（2）根据路程等于速度乘以时间，求出，的长，再利用线段的和差关系求出的长，即可得出结论；
（3）分点在点的右侧和点在点的左侧两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴，
∴；
故答案为：7；
（2）由题意，得：，
∵D点在线段上运动，
∴，，
∴；
（3）当时，，，
∵，
∴点在点的左侧，
当点在点的右侧时，如图：
则：，
∴，
∴；
当点在点的左侧时，如图：
则：，
∴，
∴；
综上：或11．
23．（1）①，②的长度不会发生变化，理由见解析；（2）
【分析】本题主要考查了有关线段中点的计算：
（1）①根据线段中点的定义，可得，即可求解；
②根据线段中点的定义，可得，即可求解；
（2）根据线段中点的定义，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：（1）①点、分别是线段、的中点，
，，
∴，
，
；
②的长度不会发生变化，理由：
点、分别是线段、的中点，
，，
∴，
，
；
（2）点是线段的中点，
，
，
，
∴，
，
．
24．(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键．
（1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度；
（3）先求得，然后求得，从而可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：①点C在点B右边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
②点C在点B左边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
综上，．
（3）证明：当点B与点D重合时，如图：
，
，
．
，
即．
25．(1)、两点间的距离是个单位长度
(2)的值为或
(3)线段的长度不发生变化，
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据数轴上的点向右移动用加法，向左移动用减法求出点表示的数为，即可得解；
（2）分两种情况：当点在点左边时；当点在点右边时；分别求解即可得出答案；
（3）分三种情况：当在、之间时；当在的左侧时；当在的右侧时；分别画出图形，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，
∴点表示的数为，
∵，
∴、两点间的距离是个单位长度；
（2）解：∵、两点间的距离是4，
∴当点在点左边时，点表示的数为，
∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为，
∴此时；
当点在点右边时，点表示的数为，
∵点在数轴上移动了个单位长度到点，点表示的数为，
∴此时；
综上所述，的值为或；
（3）解：线段的长度不发生变化，，
由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为，
∴，
∵点为的中点，点为的中点，
∴，，
如图，当在、之间时，
此时；
如图，当在的左侧时，
此时；
如图，当在的右侧时，
此时；
综上所述，点在运动过程中，线段的长度不会发生变化，．
26．(1)厘米
(2)
(3)① ②或
【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；
（3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案；
②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点,
厘米， 厘米，
厘米；
（2）∵点, 分别是的中点,
，
；
（3）解：①当 时，为线段的中点，，
解得；
②当时，是线段的中点，得
解得
当 时，为线段的中点，
解得
当时，为线段的中点，
解得(舍) ,
综上所述：或
27．(1)①2，②；
(2)当时，，当时，；
(3)的长度不变，为
【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：
（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；
（2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可；
（3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得．
【详解】（1）解；①由题意得，；
②∵，，
∴，
∵N是线段的中点，
∴；
（2）解：当时，，
当时，；
（3）解：∵点C和点N分别是的中点，
∴，
∴，
∴的长度不变，为．
点个数
2
3
4
5
…
m
线段条数
1
3
6
10
…