河北省邯郸市2025年中考数学一模试卷（含答案）

这是一份河北省邯郸市2025年中考数学一模试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，α+β=( )
A. 180°
B. 140°
C. 100°
D. 70°
2.下列算式中与−312相等的是( )
A. −3+12B. −3×12C. −3−12D. −(3−12)
3.由若干个棱长都为1cm的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为( )
A. 2cm2B. 3cm2C. 4cm2D. 6cm2
4.某校举办演讲比赛，评分规则是：10名评委为同一位选手评分，去掉1个最高分和1个最低分后得到8个有效评分，这8个有效评分与10个原始评分相比，一定不发生变化的统计量是( )
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
5.用利学记数法表示的数4×10−2在如图所示的数轴上的大致位置可能是( )
A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D
6.如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD=( )
A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 55°
7.如下算式：①( 3−1)2；②2 3− 3；③ 18÷ 2；④ 132−52.其中运算结果为有理数的是( )
A. ①③B. ①②③C. ③④D. ①②③④
8.观察图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是( )
A. 只有③B. 只有②C. ①②D. ①②③
9.已知关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x+1=0的两个实数根的和为2，则k=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.如图，在矩形纸片ABCD中，DC=8，点M是AB边上的一点，点N是DC边上的中点，佳佳按如下方式作图：
①连接MC，MD；
②取MC，MD的中点P，Q；
③连接PN，QN．
若四边形MPNQ是矩形，可以推断AD的长度不可能是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.若a为正整数，下列关于分式2a−2a2−1的值的结论正确的是( )
A. 有最大值是2B. 有最大值是23
C. 有最小值是1D. 有最小值，没有最大值
12.如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计)，A为入口，F，G为出口，其中直行道为AB，CG，EF，且AB=CG=EF；弯道为以点O为圆心的一段弧，且BC，CD，DE所对的圆心角为90.甲、乙两车由A口同时驶入立交桥，均以10m/s的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O的距离y(m)与时间x(s)的对应关系如图2所示．结合题目信息，下列说法正确的是( )
A. 甲车在立交桥上共行驶9sB. 从F口出比从G口出多行驶40m
C. 甲车从F口出，乙车从G口出D. 立交桥总长为120m
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.点A的位置如图所示，将点A竖直向下平移3个单位长度，到达点B，则点B的坐标为______．
14.如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，连接AO，BO，则∠FED−∠AOB= ______°.
15.如图，在边长为1的正方形网格上建立直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则k= ______．
16.如图，∠MON=90°，△ABC的顶点A在射线OM上，顶点B在射线ON上，已知BC=AC=5，AB=8，设OA=x，连接OC．
(1)当△ABC的某一条边与∠MON的一条边平行时，x= ______．
(2)当OC最大时，x= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
李老师在黑板上出示了如图的一个算式：但是老师用手遮挡了其中的一个数．
(1)若被手遮挡的数是12，求这个算式的值；
(2)已知这个算式的结果是正数，求被遮挡的数的最小整数值．
18.(本小题8分)
如图1，会议室还余有4个空座位，编号分别为1，2，3，5，甲、乙、丙三人同时进入会议室，每人随机选择一个未被占据的座位坐下．
(1)求甲坐在奇数座位号的概率；
(2)若甲没有坐到3号座位，佳佳用画树状图法求丙坐到3号座位的概率，树状图的部分图形如图2，请你补全树状图，并求丙坐到3号座位的概率．
19.(本小题8分)
甲、乙两人做数字游戏，甲每次选择一个正整数n，然后乙根据n的值计算代数式Pn=n3−n的值．
(1)填空：
①P2=23−2=1×2×3= ______；
②P3=33−3=2×3×4= ______；
③P5=53−5=4×5×6= ______．
(2)求证：n3−n总能被6整除．
20.(本小题8分)
中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，
原理如下：
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长FD至点G，使DG=DF，连接GB，延长FE至点H，使EH=FE，连接CH，则四边形BCHG的面积等于△ABC的面积．
(1)求证：四边形BCHG为矩形；
(2)若DE=5.5，AF=4，利用上述结论求△ABC的面积．
21.(本小题9分)
甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y(℃)随时间x(秒)变化的函数关系图象如图．
(1)甲、乙两个水壶加热前水的温度都为______℃，加热到______℃，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80℃之前每秒上升的温度为______℃；
(2)当0≤x≤120时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式；
(3)直接写出当甲壶中水温刚好达到80℃时乙壶中的水温．
22.(本小题9分)
佳佳新购买了一款手机支架，其结构平面示意图如图1所示，AB是手机托板，CD是支撑杆，DE是底座，量得AB=10cm，BC=4cm，DC=15cm，DE=10cm，她调整支架的角度，研究其运动特点，发现∠CDE的度数不变，AB可以绕点C在平面内旋转，当AB与CD重合时停止旋转．
(1)如图2，当点A，点B，点E刚好在一条直线上时，已知∠AED=80°，∠DCB=40°，求点A到DE的距离(结果精确到0.1cm)；
(2)当直线AB与CD所成锐角为60°时，直接写出点B到DE的距离(结果保留根号)．
(参考数据：sin80°≈0.98，cs80°≈0.17，tan80°≈5.7， 3≈1.73)
23.(本小题10分)
如图，抛物线L：y=14x2+bx−3(b为常数)．
(1)求证：抛物线L一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分居在原点的两侧；
(2)当抛物线L经过点M(−4,m)，N(6,m)时，
①求抛物线L的顶点坐标，并直接写出抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
②若0≤x≤n时，函数y=14x2+bx−3的最大值与最小值的差总为14，求n的取值范围．
24.(本小题12分)
如图1，图2，在▱ABCD中，AB=10，BC=8，AC=6，点E为边AB上一点(包括端点)，经过点E，点C作⊙O，总满足AB与⊙O相切于点E，设⊙O的半径为r．
(1)通过计算判断AC与BC的位置关系；
(2)如图2，当点O落在BC上时，
①求r的值；
②求⊙O落在△ABC内部的弧的弧长(包括端点)；
(3)直接写出r的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得，α+β=180°−40°=140°，
故选：B．
根据三角形三个内角的和等于180度求解即可．
本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、−3+12=−212，结果与题干不相等，不符合题意；
B.、−3×12=−32，结果与题干不相等，不符合题意；
C、−3−12=−312，结果与题干相等，符合题意；
D、−(3−12)=−212，结果与题干不相等，不符合题意．
故选：C．
根据有理数的运算法则逐项计算即可．
本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据左视图的定义画出左视图如下：
∴左视图的面积为4cm2，
故选：C．
根据左视图的定义画出左视图即可．
本题考查三视图，正确记忆相关知识点是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵10个数的中位数是中间两个数的平均数，
∴去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：A．
根据平均数、中位数、众数、方差的意义解答即可．
本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，4×10−2=0.04，
∵0.04是正数，且比1小，更靠近0，
∴在数轴上的位置可能是点B．
故选：B．
先把还原成原数，然后结合数轴加判断即可．
本题考查了科学记数法−表示较小的数，数轴，掌握科学记数法的表示形式是关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，△ABC是等腰三角形，
∴∠ACD=12∠ACB=12×110°=55°．
故选：D．
根据尺规作图痕迹可知，直线l垂直平分AB，点C在直线l上，△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了尺规作图—线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质，掌握以上性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：①( 3−1)2
=( 3)2−2 3+12
=3−2 3+1
=4−2 3，运算结果为无理数，不符合题意；
②2 3− 3= 3，运算结果为无理数，不符合题意；
③ 18÷ 2
= 18÷2
= 9
=3，运算结果为有理数，符合题意；
④ 132−52= 144=12，运算结果为有理数，符合题意；
∴计算结果为有理数的是③④，
故选：C．
根据二次根式运算法则，完全平方公式运算法则逐项计算即可，
本题主要考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握相关知识的运算法则是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：①、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的上下一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故①不符合题意；
②、由同旁内角互补，两直线平行，只能判定四边形的左右一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故②不符合题意；
③、由同旁内角互补，两直线平行，判定四边形的上下一组对边平行，并且上下一组对边相等，判定四边形是平行四边形，故③符合题意．
∴判定四边形一定是平行四边形的只有③．
故选：A．
由拍照不行的判定方法，即可判断．
本题考查平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9.【答案】A
【解析】解：由条件可知22−4(k−1)≥0，
解得k≤2且k≠1．
∴x1+x2=−2k−1=2，解得k=0，此时方程有实数解，
故选：A．
先根据一元二次方程的定义以及有实数根得到k≤2且k≠1，再由根与系数的关系即可求解．
此题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点容易忽略二次项系数不为0．
10.【答案】D
【解析】解：如图，连接NM，PQ，
∵MC，MD，CD的中点分别是P，Q，N，
∴PN、QN是△CDM的中位线，
∵DC=8，
∴PQ=12DC=4,PN//DM,QN//CM，
∴四边形MPNQ是平行四边形．
当四边形MPNQ是矩形时，则MN=PQ=4．
∴点M到DC的距离不超过4，即AD≤4，
故选：D．
连接NM，PQ，求解四边形MPNQ是矩形时，MN=PQ=4，再进一步分析即可．
本题考查的是矩形的性质，掌握三角形的中位线的性质，垂线段最短的含义是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：2a−2a2−1=2(a−1)(a+1)(a−1)=2a+1，
根据分式要有意义的条件可知，(a+1)(a−1)≠0，
解得：a≠1且a≠−1，
∴a的最小值为2，
∵分式的值随着a的值的增大而减小，
∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值=22+1=23，且原分式无最小值．
故选：B．
先把2a−2a2−1化简，再根据分式的特点分析即可．
本题考查了分式的值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是关键．
12.【答案】B
【解析】解：由图象可知，甲车驶出立交桥时，一共行驶的时间为3+2+3=8(s)，故选项A不合题意；
根据两车运行路线，从F口驶出比从G口多走CD，DE弧长之和，用时为4s，则走40m，故选项B符合题意；
甲车先驶出立交桥，乙车后驶出立交桥，所以甲车从G口出，乙车从F口出，故选项C不合题意；
图中立交桥总长为：3×3×10+3×2×10=150(m)，故选项D不合题意，
故选：B．
根据题意、结合图象问题可得．
本题考查了动点问题的函数图象，理解题意、数形结合是解决问题的关键．
13.【答案】(−3,−1)
【解析】解：点A(−3,2)竖直向下平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标减3，则点B(−3,−1)，
故答案为：(−3,−1)．
根据平移规则，竖直向下平移时，横坐标保持不变，纵坐标减少相应单位，据此回答即可．
本题考查坐标平移变换，具体涉及竖直平移对坐标的影响(横坐标不变，纵坐标变化)，解题的关键是掌握平移规律．
14.【答案】90
【解析】解：在正八边形ABCDEFGH中，每一内角的度数都为180°−360°8=135°，
每一个中心角的度数都为360°8=45°．
∴∠FED−∠AOB=135°−45°=90°．
故答案为：90．
求得正多边形的每个内角度数和中心角度数，相减即可．
本题考查了正多边形与圆，熟知求得正多边形相关角度是解题的关键．
15.【答案】4
【解析】解：根据直角坐标系设点M(1,n)，则点N(2,n−2)，
将点M，N代入反比例函数y=kx中，
得n=2(n−2)，
∴n=4．
∴点M(1,4)，
k=4．
故答案为：4．
根据直角坐标系设点M(1,n)，则点N(2,n−2)，将两点代入反比例函数，可得出n=2(n−2)，进而求出M(1,4)，则可得出k的值．
本题主要考查了求反比例函数解析式，正确进行计算是解题关键．
16.【答案】245或325；
4 2．
【解析】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
∵BC=AC=5，AB=8，
∴BD=4=AD，
∴CD=3．
(1)若BC/​/OM，
∴∠CBA=∠BAO且∠CDB=∠AOB，
∴△BDC∽△AOB．
∴BCAB=BDAO，即58=4x．
∴x=325．
若AC//ON，
∴∠CAB=∠ABO且∠CDA=∠AOB，
∴△ACD∽△BAO．
∴ACAB=CDAO，即58=3x，
∴x=245，
故答案为：245或325；
(2)如图，连接OD．
∵AD=BD，∠AOB=90°，
∴OD=12AB=4，
∵在△OCD中，OC≤OD+DC，
∴当O，D，C三点共线时，OC值最大，
即OD⊥AB．
由题意可得：BO=AO，且AB=8，
∴AO=BO=4 2，
∴x=4 2，
故答案为：4 2．
(1)过点C作CD⊥AB于点D，则BD=4=AD，且CD=3.若BC/​/OM，有△BDC∽△AOB，得BCAB=BDAO求得x；若AC//ON，有△ACD∽△BAO得ACAB=CDAO解得x；
(2)连接OD，则OD=12AB，在△OCD中，有OC≤OD+DC，当O，D，C三点共线时，OC值最大，即OD⊥AB，结合等腰直角三角形的性质即可求得OA．
本题主要考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半以及三角形三边关系，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和分类讨论思想应用．
17.【答案】1；
1．
【解析】解：(1)若被手遮挡的数是12，
则原式=−18×(13−12)−(12)−1
=−18×13−18×(−12)−2
=−6+9−2
=1，
∴这个算式的值为1；
(2)设被遮挡的数为x，
由题意得，−18×(13−x)−(12)−1>0，
解得：x>49，
∴被遮挡的数的最小整数值为1．
(1)先利用乘法分配律和负整数指数幂的法则计算，再计算加减即可；
(2)设被遮挡的数为x，根据算式的结果是正数列出不等式求解即可．
本题考查了有理数的混合运算、负整数指数幂、不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
18.【答案】34；
图见解析，13．
【解析】解：(1)会议室总共有4个空余座位，奇数座位号有1，3，5号，
∴甲坐在奇数座位号的概率为34．
(2)三人随机坐一个座位，甲不选3号，树状图如下：
共有18种等可能结果，其中丙选择3号座位共有6种结果，
∴丙坐到3号座位的概率618=13．
(1)直接根据概率公式进行计算即可；
(2)补全树状图，利用概率公式进行计算即可．
本题考查的是列表法与树状图，概率公式，正确的画出树状图是解题的关键．
19.【答案】6，24，120；
详见解析．
【解析】解：(1)①P2=23−2=1×2×3=6；
②P3=33−3=2×3×4=24；
③P5=53−5=4×5×6=120．
故答案为：6，24，120．
(2)证明：∵Pn=n3−n=n(n2−1)=n(n−1)(n+1)，
∵n是正整数，三个数其中至少存在一个偶数，能被2整除，一个能被3整除的数，
∴n(n−1)(n+1)能被6整除．
即n3−n总能被6整除．
(1)通过代入具体数值(n=2,3,5)，计算左右两边的值即可；
(2)利用因式分解n3−n=(n−1)n(n+1)，根据连续整数性质问题即可得证．
本题考查了本题主要考查代数式求值、因式分解以及连续整数的性质．解题关键在于理解连续整数性质．
20.【答案】详见解析；
44．
【解析】(1)证明：∵点D，E分别是AB、AC的中点，
∴AD=BD．
∵DG=DF、∠ADF=∠BDG，
∴△ADF≌△BDG(SAS)，
∴AF=BG、∠AFD=∠G=90°．
同理可得：CH=AF，∠AFE=∠H=90°，
∴BG=CH、BG/​/CH，
∴四边形BCHG为矩形．
(2)解：∵点D，E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=11，
由(1)可知，BG=AF=4，
∴S矩形BCHG=BC×BG=11×4=44，
∴S△ABC=S矩形BCHG=44．
(1)证明△ADF≌△BDG(SAS)得AF=BG、∠AFD=∠G=90°.同理可得：CH=AF，∠AFE=∠H=90°，进而可证明四边形BCHG为矩形；
(2)证明DE是△ABC的中位线可求出BC=2DE=11，然后求出矩形的面积即可求解．
本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息．
21.【答案】20；80；1；
y=12x+20(0≤x≤120)；
当甲壶中水温刚好达到80℃时，乙壶中的水温为50℃．
【解析】解：(1)由函数图象可知，当x=0时，y=20，
则加热前水温是20℃，
加热到80℃，温度将恒定保温，
甲壶中的水温在达到80℃之前每秒上升的温度为60−2040=1℃，
(2)设乙壶为y=kx+b，
把(0,20)，(120,80)代入可得：
b=20120k+b=80，
解得：k=12b=20，
∴y=12x+20(0≤x≤120)；
(3)∵甲壶中的水温在达到80℃之前每秒上升的温度为1℃，
∴当甲壶中水温刚好达到80℃时，t=(80−20)×1=60，
∴y=12×60+20=50，
∴当甲壶中水温刚好达到80℃时，乙壶中的水温为50℃．
(1)结合图象可得答案；
(2)设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为y=kx+b，把(0,20)，(120,80)代入可得答案；
(3)先求解当甲壶中水温刚好达到80℃时，t=60，再代入乙的函数解析式即可得到答案．
本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
22.【答案】18.9cm；
11 32cm或15 32cm．
【解析】解：(1)过点C作CG⊥DE于点G，作CF/​/DE，过点A作AH⊥CF于点H.如图，
由题意可得：∠EDC=180°−∠CED−∠DCB=180°−80°−40°=60°．
∴C=10−4=6(cm)．
AH=ACsin80°≈6×0.98=5.88(cm)．
∴在Rt△CDG中，CG=DCsin60°=15× 32=15 32≈12.99(cm)．
∴点A到DE的距离=AH+CG=5.88+12.99≈18.9(cm)；
(2)当直线AB与CD所成锐角为60°时，
情况一：如图，当∠BCD=60°时，过点B作BK⊥CG于点K．
CK=BCcs30°=4× 32=2 3cm，
由(1)知：CG=15 32cm，
∴点B到DE的距离：15 32−2 3=11 32(cm)；
情况二：当∠ACD=60°时，∠ACD=∠CDE，
∴AB//DE，
∴点B到DE的距离=CG=15 32cm；
综上：答案为11 32cm或15 32cm．
(1)过点C作CG⊥DE于点G，CF/​/DE，过点A作AH⊥CF于点H，分别解Rt△ACH，Rt△CDG，求出AH，CG的长，求和即可得出结果；
(2)分∠ACD=60°和∠BCD=60°两种情况进行讨论求解即可．
本题考查解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】证明见解析；
①抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标为(1+ 13,0)；理由见解答过程；
②1≤n≤2..
【解析】(1)证明：在y=14x2+bx−3中，
当y=0时，得：14x2+bx−3=0，
∵Δ=b2−4×14×(−3)=b2+3>0，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即抛物线L一定与x轴有两个交点，
设14x2+bx−3=0的根分别为x1，x2，
∵x1⋅x2=−12