2024-2025学年江西师大附中高三（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年江西师大附中高三（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i为虚数单位，且1+ai1+i∈R，则实数a的值为( )
A. −1B. 1C. 2D. −2
2.设函数f(x)=f(x+2),x≤0x2−3x,x>0，则f(−2)=( )
A. −4B. −2C. 0D. 2
3.已知向量a=(2,3)，b=(1,0)，|a+tb|=3，则t=( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
4.已知双曲线x2λ−y22λ−1=1与椭圆x25+y23=1焦点相同，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为y=±xB. 双曲线的焦点坐标为(−2,0)，(2,0)
C. 双曲线的离心率 5D. 双曲线的实轴长为1
5.将函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|0)内切，则r的最小值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2，则“AA1=2”是“异面直线AC1与A1B所成角的余弦值是14”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.设函数f(x)=(x−2)2(x−a)ln(x+2b)，若f(x)≥0恒成立，则1a+a2b的取值范围为( )
A. (−1,3]B. [−1,3)
C. (−∞,−1)∪[3，+∞)D. (−∞,−1]∪(3，+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=tan(2x+φ)(−π2b>0)的离心率是 53，点A(−2,0)在C上．
(1)求C的方程；
(2)过点(−2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(2x)+a2x+1(a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x11,n∈N∗)种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为p1，p2，…，pn，则称H=f(p1)+f(p2)+⋯+f(pn)(其中f(x)=−xlg2x)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X的信息熵H；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y(Y=1,2,3,…,n,…)，证明：当n无限增大时，Y的数学期望趋近于一个常数．
参考公式：00)的离心率是 53，
所以e=ca= 53，①
因为点A(−2,0)在C上，
所以(−2)2b2=1，②
又a= b2+c2，③
联立①②③，解得a=3，b=2，c= 5，
所以椭圆方程为y29+x24=1；
(2)证明：易知直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ的方程为y=k(x+2)+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y=k(x+2)+3y29+x24=1，消去y并整理得(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0，
此时Δ=64k2(2k+3)2−64(4k2+9)(k2+3k)=−1728k>0，
解得k