2024-2025学年海南省三亚市高二下册第一次月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年海南省三亚市高二下册第一次月考数学质量检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了 设函数在处存在导数为2，则， 已知函数满足，则的值为， 函数的图象在点处的切线方程为， 的零点的个数为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【正确答案】D
【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.
【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，
故共有种选择方法.
故选：D.
2. 设函数在处存在导数为2，则（ ）
A. 1B. 2C. D. 3
【正确答案】C
【分析】利用导数的定义即可得解.
【详解】由依题意，知，
则.
故选：C.
3. 已知函数满足，则的值为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出导函数，代入，即可得出答案.
详解】由已知可得，，
则，
所以，.
故选：A.
4. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程.
【详解】依题意，，
因为，
所以，所以切线方程为，
即，
故选：D.
5. 一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（ ）
A. 35种B. 32种C. 16种D. 14种
【正确答案】C
【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解.
【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，
其中全部为白球有种取法，
则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.
故选：C.
6. 某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种
【正确答案】D
【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色
【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，
当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，
所以共有72种不同的染色方案.
故选：D
7. 设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果.
【详解】当时，令，则，
所以在上单调递减，
因为，所以，
于是当时，，即；
当时，，即.
又为上的奇函数，
所以当时，，当时，，
又，
所以的解集为.
故选：A.
8. 的零点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】D
【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数,结合导函数求解单调性及极值最后应用数形结合求解.
【详解】由得，构造函数，求导得
在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，
及时，的图像如图，得到有3个解.

故选：D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 已知函数的极小值点为1，极小值为.则（ ）
A.
B.
C. 有3个零点
D. 直线与的图像仅有1个公共点
【正确答案】ACD
【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD.
【详解】由题意得
则，解得，故A正确.
由，解得，故B错误.
，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以的极大值为，
画出草图，所以有3个零点，故C正确；
直线与的图像仅有1个公共点，故D正确.
故选：ACD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D. 学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法
【正确答案】BCD
【分析】利用排列数公式判断A；利用排除法列式计算判断B；利用组合计数判断C；分类计算判断D.
详解】对于A，，A错误；
对于B，四个字母全排列共有种，而正确的只有1种，可能出现的错误共有种，B正确；
对于C，10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，共有次，C正确；
对于D，5个名额，按分有种，按分有种，共有种，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数（ ）
A. 若在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C. 当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D. 若的单调递减区间为，则.
【正确答案】AD
【分析】对于选项A，由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项B：因为由在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项C，当时，得出，根据在区间上不单调，列出关于的不等式组
，求出实数的范围；对于选项D，由的单调递减区间为，可知是的一个根，即可求出.
【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数.
对于选项A：因为在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
分离出参数，可得在上恒成立.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项A正确.
对于选项B：因为在上存在单调递减区间，
所以在上有解，即在上有解，
分离出参数，可得在上有解.
又因为二次函数在上单调递增，
所以在上，
所以，故选项B错误.
对于选项C：当时，.
令，解得.
因为在区间上不单调，
所以导数在区间上有极值点，
则，解得：，故选项C错误.
对于选项D：因为的单调递减区间为，
所以是的一个根，即，
解得：，故选项D正确.
故选：AD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求的值为__________.
【正确答案】18
【分析】利用排列数公式计算.
【详解】
故18
13. 用“实”､“验”､“中”､“学”､“顶”､“呱”､“呱”这七个字可以组成__________种不同的七字短语.（不考虑短语的含义）
【正确答案】
【分析】在这七个文字的排列中，由于有相同元素，需要优先用组合来计数，然后用分步计数原理求解即可.
【详解】由于这七个字中有两个重复文字，故第一步优先摆放，共有种；
第二步摆放剩下五个文字，共有种；
根据分步计数乘法原理得它们可以组成种不同的七字短语.
故答案为.
14. 过原点与曲线相切的切线方程为______．
【正确答案】
【分析】
设切点坐标为，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切线的方程.
【详解】设切点坐标为，切线方程为，
由，则，则，
则，即，即，解得，所以，
所以原点与曲线相切的切线方程为．
故
本题主要考查了过点出的切线方程的求解，其中解答中熟记到导数点几何意义，以及过点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
四､解答题（本题共5小题，共77分）
15. 已知函数，．
（1）求的单调递增区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
【正确答案】（1）单调增区间为和，极大值为，极小值为
（2）最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，即可求解；
（2）根据的单调区间，极值，区间端点值即可确定在区间上的最大值与最小值．
【小问1详解】
，令，得或，
当时，，则在单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以单调增区间为和，单调减区间为，
所以的极大值为，极小值为．
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为1，最小值为．
16. 求下列问题的排列数：
（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；
（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；
（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.
【正确答案】（1）720(种)
（2）1440(种) （3）1440(种)
【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果；
（2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果；
（3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果.
【小问1详解】
根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，
共有(种)不同的安排方法.
【小问2详解】
根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，
共有(种)不同的排列方法.
【小问3详解】
先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，
共有(种)不同的排列方法.
17. 由0，1，2，3，4这五个数字．
（1）能组成多少个无重复数字的五位数？
（2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？
（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？
【正确答案】（1）96 （2）60
（3）65
【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；
（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；
（3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.
【小问1详解】
先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，
所以能组成96个无重复数字的五位数；
【小问2详解】
当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数；
【小问3详解】
计算比21034大的五位数的个数分两类：
万位比2大的五位数个数是，
万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，
由分类加法计数原理得，
所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.
18. 设函数．
（1）若恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）存在，.
【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可.
（2）利用导数按分类讨论函数在上单调性，并求出最小值即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，不等式，
令，依题意，恒成立，，
当时，；当时，，
函数在上递增，在上递减，，则，
所以实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由函数，求导得，由，得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，无解；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，解得，符合题意，
所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）分和，两种情况分类讨论得出导函数的正负即得函数单调性；
（2）先化为恒成立，应用导数求右侧的最值，即可得参数范围.
【小问1详解】
因为，所以.
因为，若，即时，在上单调递增，
若，即时，令，得；
令，得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
因为，恒成立，
所以，则，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
又，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
所以，实数的取值范围为.