2024-2025学年黑龙江省黑河市龙西北名校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省黑河市龙西北名校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知O为复平面中直角坐标系的坐标原点，向量OM=(−1,2)，则点M对应的复数为( )
A. 1+2iB. −1+2iC. 2−iD. 2+i
2.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b= 2c，sinA= 3sinC，则csB=( )
A. 33B. 63C. 23D. 13
3.已知向量a，b满足|a|=1，b=(1,2 2)，|a+b|= 7，则向量a，b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则向量a,b可作为基底的是( )
A. a=e1+e2,b=−e1−e2B. a=2e1+e2,b=12e1+14e2
C. a=e1+e2,b=e1−e2D. a=e1−2e2,b=−2e1+4e2
5.与函数y=tan(2x+π3)的图象不相交的一条直线是( )
A. x=π2B. x=π3C. x=π12D. x=π4
6.已知平面向量a,b,c，则下列命题一定正确的有( )
①若|a+b|=|a−b|，则a⋅b=0；
②若a//b，则存在实数λ，使得a=λb；
③若a//b,b//c，则a//c；
④(a⋅b)c=(b⋅c)a．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|0)的最小正周期为π，则ω的值为______．
13.定义：abcd=ad−bc.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若2csC−12csC+1csC=0，且a+b=5，则边c的最小值为______．
14.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形.已知正八边形ABCDEFGH的边长
为4，O是线段AE的中点，P为正八边形内的一点(含边界)，则OP⋅AB的最大
值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a2−3a+2+(a−2)i，其中i为虚数单位，a∈R．
(1)若z为纯虚数，求|z+2|；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
在直角坐标系xOy中，已知向量OA=(1,−1)，OB=(3,1)，OC=(m,3)(其中m∈R)，D为坐标平面内一点．
(1)若A，B，C三点共线，求m的值；
(2)若向量AB与AC的夹角为π4，求m的值；
(3)若四边形ABCD为矩形，求D点坐标．
17.(本小题15分)
养殖户承包一片靠岸水域，如图OA，OB为直岸线，OA=2km，OB=3km，∠AOB=π3，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧AB，过弧AB上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知∠APB=2π3．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记∠PAB=θ，设两段网箱获得的经济总收益为y万元，求y的取值范围．
18.(本小题17分)
三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE=2EC，线段CD与线段AE交于M.(b+c)(sinB−sinC)=(a−c)sinA，S△ABC= 34．
(1)求角B的大小；
(2)若BM=xBA+yBC，求x+y的值；
(3)若点G是三角形ABC的重心，求|GM|的最小值．
19.(本小题17分)
已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcsx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
(1)设函数g(x)=sin(x+5π6)+cs(3π2+x)，试求g(x)的伴随向量的坐标；
(2)记向量ON=(1, 3)的伴随函数为f(x)，当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，求sinx的值；
(3)设向量OP=(2λ,−2λ)，λ∈R的伴随函数为u(x)，OQ=(1,1)的伴随函数为v(x)，记函数ℎ(x)=u(x)+v2(x)，求ℎ(x)在[0,π]上的最大值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题重点考查平面向量的概念与复数的几何意义，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
【解答】
解：∵向量OM=(−1,2)，
∴点M在复平面对应的点为(−1,2)，
∴点M对应的复数为−1+2i．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：因为b= 2c，sinA= 3sinC，
由正弦定理可得a= 3c，
由余弦定理可得csB=a2+c2−b22ac=3c2+c2−2c22 3c2= 33．
故选：A．
由正弦定理可得a，c的关系，再由余弦定理可得csB的值．
本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设向量a，b的夹角为α，
因为向量a，b满足|a|=1，b=(1,2 2)，|a+b|= 7，
所以7=a2+b2+2a⋅b=1+9+2a⋅b，即a⋅b=−32，
因为csα=a⋅b|a||b|=−321×3=−12，
因为0≤α≤π，
所以α=2π3．
故选：C．
由已知结合向量的夹角公式即可求解．
本题主要考查了向量数量积的性质及向量夹角公式的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A，a=−b，∴a,b共线，不能作基底，∴不选A；
对于B，a=4b，∴a,b共线，不能作基底，∴不选B；
对于C，不存在λ，使得a=λb，能作基底，∴选C；
对于D，a=−12b，∴a,b共线，不能作基底，∴不选D．
故选：C．
依据向量共线定理可解决此题．
本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力及直观想象能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由2x+π3≠kπ+π2，k∈Z，
得x≠kπ2+π12，
则当k=0时，x≠π12，
即x=π12，与函数图象不相交，
故选：C．
根据正切函数的性质先求出正切函数的定义域即可．
本题主要考查正切函数的图象和性质，结合正切函数的定义域是解决本题的关键，比较基础．
6.【答案】B
【解析】解：①两边平方得：|a+b|2=|a−b|2，展开后为：|a|2+2a⋅b+|b|2=|a|2−2a⋅b+|b|2，
化简方程消去相同项后得：4a⋅b=0⇒a⋅b=0，命题①正确；
②若b≠0，则存在唯一实数λ使得a=λb，
若b=0，则a可以是任意向量，此时无法确定唯一的λ，命题②错误；
③取b=0，此时a/​/b和b/​/c恒成立，但a和c−可以是任意方向，命题③错误；
④取a=(1,0)，b=(1,0)，c=(0,1)，(a⋅b)⋅c=1×(0,1)=(0,1)，(b⋅c)⋅a=0×(1,0)=(0,0)，显然不等，命题④错误．
故选：B．
命题①：利用向量模长平方展开公式，推导向量垂直的条件；
命题②：注意零向量对向量平行定义的影响；
命题③：通过零向量构造反例，说明传递性不成立；
命题④：通过具体反例验证等式不成立．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：对A，由最大值为3可得A=3，由图知T4=π12−(−π6)=π4，故T=π=2πω，故ω=2，
由图象最高点可得2×π12+φ=π2+2kπ,(k∈Z)，即φ=π3+2kπ,(k∈Z)，
又|φ|C.可得A为锐角或钝角，这样的三角形有且只有两个，故A正确；
对于B：若acsA=bcsB，由正弦定理变形为sinAcsA=sinBcsB，即为sin2A=sin2B，
由0