（全卷解析）河北省衡水市安平中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

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1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，根据点关于平面的对称点，求得的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.
【详解】由题意，空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
所以,则，故选D.
【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将题中抛物线的方程转化为标准方程，从而得解.
【详解】由，可得，
所以准线方程，
故选：C
3. 在等差数列中，，则的值为（ ）
A. 7B. 14C. 21D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】由等差中项的性质计算即可；
【详解】因为在等差数列中，，
所以，
所以，
故选：B.
4. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题得，等价于函数在上有两个不相等的零点，解不等式组即得解.
【详解】由题得，
因为有两个极值点，
所以函数在上有两个不相等的零点，
所以，
解得．
故选：B
5. 设正项等差数列满足，其前n项和为，若数列为等差数列，则的最小值是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】D
【解析】
【分析】设公差为d，根据等差数列前n项和写出前3项，结合等差中项的性质列方程求公差d，进而得到关于n的表达式，利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为等差数列满足，．
设公差为d，则，其前n项和为，
所以，，，．
因为数列也为等差数列，所以，
所以，解得，故，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：D
6. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率.
【详解】由题意得，，令，则
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故选：A.
二．多选题（本题共2小题，每小题9分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）．
7. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线的焦点坐标是
B.
C. 若，则
D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
【答案】ABD
【解析】
【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确.
【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.
故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，如图所示：

过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：ABD
8. 已知正方体的棱长为2，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 当，时，最小值为
B. 当，时，过点，，的截面面积为
C. 当，且时，点的轨迹的长度为
D. 当，时，三棱锥的体积为
【答案】BD
【解析】
【分析】首先分别分析个各选项中M点所处的位置，即可依次结合图形、求点面距离的向量法、锥体体积公式判断各个选项正误.
【详解】以为坐标系原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，
故，
对于选项A，由题，
故点坐标为，故在线段上，
沿将平面翻折使得平面与平面处于同一平面内（如图所示），
连接，易得，所以，故A错误；
对于选项B，由题，
故点坐标为，故为的中点，取的中点，如图所示，
则，又，所以，
所以平面即为过点，，的截面，
易知此截面等腰梯形，如图所示，其高为，
故其面积为，故B正确；
对于选项C，由空间向量基本定理可知，在平面内，
由上得，
设平面的法向量为，则，
取，则，
则点到平面的距离为 ，
又，所以在平面以为半径的圆上，
由等面积法可知正的内切圆半径为，
所以的轨迹为三段圆弧，其长度一定小于圆的周长，故C错误；
对于选项D，由题，
故点坐标为，故在上，
故，故D正确.
故选：BD.
三. 填空题（本题共3小题，每小题8分，共24分）．
9. 已知的三个顶点是，，，则边上的高所在直线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据与直线垂直可求得斜率，又过点，根据直线的点斜式方程即可求解.
【详解】因为，，所以,
则边上的高所在直线的斜率为，
又该直线过点，
所以所求直线方程为，
即，
故答案为：.
10. 若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为________．
【答案】
【解析】
【分析】应用向量法求线面角的大小即可.
【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量，
令直线OP与平面OMQ所成角为，
则，所以.
故答案为：
11. 若数列满足，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可.
【详解】因为①，
所以②，
②①得，，
所以有，
所以．
故答案为：.
四. 解答题（本题共3小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
12. 已知数列的前n项和为，，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将递推公式左右两边同时除以，整理化简后即可由等比数列定义证明是等差数列，再结合其首项和公差，即可求得；
（2）根据（1）中所求，根据错位相减法即可求得结果.
【小问1详解】
由，则，又，
所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，
所以.
【小问2详解】
由，
则，
所以，
所以.
13. 设函数
（1）当时，求曲线在处的切线方程.
（2）讨论函数在区间上零点的个数.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求得导函数，是切线的斜率，利用点斜式方程求切线方程即可；
（2）先对参数分类讨论研究函数的单调性，结合函数的最值和区间的边界值，利用零点存在性定理判断零点个数即可.
【小问1详解】
因为，所以，
则，
所以，切线方程为
即
【小问2详解】
由（1）知，
①当时，在区间上大于零，在区间上单调递增，且，所以在区间上有一个零点.
②当时，在区间上小于零，在区间上单调递减，且，所以在区间上有一个零点.
③当时，在区间上小于零，在区间上大于零，
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
而.
当，即时，在区间上有两个零点.
当，即时，在区间上有一个零点.
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点.
14. 已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若直线过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程．
【答案】（1）
（2），或
【解析】
【分析】（1）借助点到直线的距离公式计算可得，再代入点计算即可得，即可得；
（2）分直线斜率不存在、斜率存在进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，借助韦达定理与弦长公式计算即可得.
【小问1详解】
由点到直线的距离公式可知：
右焦点到渐近线的距离为，
又双曲线C过点，所以，解得，
所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知：右焦点坐标为，
当直线的斜率不存在时，，，满足题意；
当直线的斜率存在时，
设，联立
消去y得：，
所以，
设，则，
所以
．
则，解得，即，满足；
所以直线的方程为 ，或．