高考数学第二轮复习专题练习 专题10.7 古典概型大题专项训练（30道）（学生版）

这是一份高考数学第二轮复习专题练习 专题10.7 古典概型大题专项训练（30道）（学生版），共15页。
姓名：___________班级：___________考号：___________
1．（2023·全国·高一专题练习）从4名男同学、2名女同学中选出3人构成一组．
(1)该活动包含了多少个基本事件？
(2)抽出男同学比女同学多的概率是多少？
2．（2023·全国·高一专题练习）一个袋中袋有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；黑球有2个，编号分别为1，2；白球有一个，编号为1，现从袋中一次随机抽取2个球．
(1)求取出的2个球的颜色不相同的概率；
(2)求取得的球中有1号球的概率．
3．（2023·全国·高一专题练习）由数字1，2，3，4构成的两位数中抽取一个，求：
(1)所抽到数为偶数的概率；
(2)所抽到数为3的倍数的概率；
(3)所抽到数的个位和十位不相同的概率．
4．（2023秋·海南儋州·高二期末）两个口袋，每个袋中有3个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3.现分别从每一个袋中取一个小球，观察其上标的数字.
(1)写出试验样本空间；
(2)设事件A=“两个小球都是奇数”，B＝“两个小球的和为4”，求：
①事件A的概率；
②事件B的概率.
5．（2023春·江西·高三阶段练习）为了提高学习数学的兴趣，形成良好的数学学习氛围，某校将举行“‘象山杯’数学解题能力比赛”，每班派3人参加，某班级老师已经确定2参赛名额，第3个参赛名额在甲，乙同学间产生，为了比较甲，乙两人解答某种题型的能力，现随机抽取这两个同学各10次之前该题型的解答结果如下：a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，a,b，其中a，a分别表示甲正确和错误；b，b分别表示乙正确和错误．
(1)若解答正确给该同学1分，否则记0分．试计算甲、乙两人之前的成绩的平均数和方差，并根据结果推荐谁参加比赛更合适；
(2)若再安排甲、乙两人解答一次该题型试题，试估计恰有一人解答正确的概率.
6．（2023秋·四川绵阳·高二期末）某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；
(2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90分的概率.
7．（2023秋·海南儋州·高二期末）某地区有小学15所，中学10所，大学5所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率.
8．（2022春·甘肃天水·高一期末）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
(1)求应从小学，中学，大学中分别抽取学校的数目；
(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率.
9．（2022秋·湖北宜昌·高二期中）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等．
(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于8的概率；
(2)若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字2的卡片的概率．
10．（2022秋·浙江杭州·高二期中）袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率;
(2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由.
11．（2023·高一课时练习）抛掷两颗骰子，求：
(1)点数之和是4的概率；
(2)点数之和小于4的概率；
(3)点数差的绝对值为3的概率．
12．（2022·陕西·统考模拟预测）汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对二氧化碳排放量超过130g/km的M1型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌汽车各抽取5辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下（单位：g/km）
经测算发现，乙品牌M1型汽车二氧化碳排放量的平均值为x乙=120g/km
（1）从被检测的5辆甲类M1型品牌车中任取2辆，则至少有1辆二氧化碳排放量超过130g/km的概率是多少？
（2）求表中x的值，并比较甲、乙两品牌M1型汽车二氧化碳排放量的稳定性．(s2=1n[(x-x1)2+(x-x2)2+⋯+(x-xn)2])其中，x表示的平均数，n表示样本数量，xi表示个体，s2表示方差．
13．（2023·河南平顶山·模拟预测）某超市计划购进1000kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱（每箱20kg）统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格：
假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元．
(1)以样本估计总体，试问采购员购进1000kg苹果需要多少元？
(2)若采购员检查完前3箱（即第1~3箱）苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1000kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率．
14．（2023春·湖北孝感·高二开学考试）已知函数f(x)=ax2-bx-1，集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a,b)．
(1)记事件A为“函数fx的单调递增区间为1,+∞”，求事件A的概率；
(2)记事件B为“方程fx=2有4个根”，求事件B的概率．
15．（2022秋·山东青岛·高二期中）袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中红色小球1个，黄色小球1个，蓝色小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到蓝色小球为事件M，且事件M发生的概率是12.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，若每次取到红色小球得0分，取到黄色小球得1分，取到蓝色小球得2分，设第一次取出小球后得分为a，第二次取出小球后得分为b，记事件N为“a+b=2”，求事件N发生的概率.
16．（2023·全国·高三专题练习）2022年下半年，我国新冠肺炎疫情“多点散发”的特点愈加明显，为了有效阻断疫情的快速传播，全国各地均提供了生活必需品线上采购服务，某地区为了更好的做好此项工作，高质量服务于百姓生活，对爱好线上采购生活必需品的人员进行了调查，随机调查了100位线上采购爱好者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区爱好线上采购生活必需品人员的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位线上采购爱好者的年龄位于区间20,70的概率；
(3)工作人员为了确定20岁以下和80岁以上是否具有主动性和代表性，在参与调查的100位线上采购爱好者中20岁以下和80岁以上人员中抽取两名进行电话访问，求被访问者恰有一名是80岁以上的概率．
17．（2023·全国·高一专题练习）某中学为研究本校高一学生市联考的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，按分组80,90，90,100，100,110，110,120，120,130，130,140，140,150整理后得到如下频率分布直方图.
(1)求图中x的值；
(2)请用样本数据估计本次联考该校语文平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(3)用分层随机抽样的方法，从样本内语文成绩在130,140，140,150的两组学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人语文成绩在130,140的概率.
18．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产的每件产品所用原材料的质量m（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了300件产品，并将得到的数据按如下方式分为9组：10,15、15,20、⋯、50,55，绘制成如下的频率分布直方图：
工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了300件产品.
(1)求今年一月份生产的产品长度在25,40的件数；
(2)现从25,30和30,35两组产品中以分层抽样的方式抽取7件产品，客户在这7件产品中再随机抽取2件，求这2件产品在25,30和30,35两组中各有1件的概率.
19．（2023·全国·高一专题练习）开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在50,60内的有3人．
(1)求n的值；
(2)已知抽取的n名参考学生中，在90,100的人中，女生有甲、乙两人，现从90,100的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．
20．（2021春·四川成都·高二阶段练习）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组25,30，第2组30,35，第3组35,40，第4组40,45，第5组45,50，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)下表是年龄的频率分布表，求正整数a，b的值．
(2)现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组抽取的员工的人数分别是多少？
(3)在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
21．（2022秋·云南昆明·高二阶段练习）某校为增强学生的环保意识，普及环保知识，在全校范围内组织了一次有关环保知识的竞赛. 现从参赛的所有学生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次环保知识竞赛成绩的第50百分位数；
(2)在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩低于70分的学生中随机抽取6人，查看他们的答题情况，再从这6人中随机抽取2人进行调查分析，求这2人中至少有1人成绩在60,70内的概率.
22．（2023春·河南·高三阶段练习）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)用分层抽样的方法从使用手机时间在48,60和60,72的两组学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率．
23．（2022秋·广东湛江·高二期中）某学生社团为了解本校学生喜欢球类运动的情况，随机抽取了若干名学生进行问卷调查，要求每位学生只能填写一种自己喜欢的球类运动，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图．
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)则参加调查的人数共有__________人；在扇形图中，m=__________；将条形图补充完整；（不需要写过程）
(2)该社团计划从篮球､足球和乒乓球中，随机抽取两种球类组织比赛，请用树状图或列表法，求抽取到的两种球类恰好是“篮球”和“足球”的概率．
24．（2023秋·云南·高二期末）2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查.现从球迷中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求样本中数据落在[50,60)的频率
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从[20,30)和[60,70]两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2入进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在[20,30)组的概率.
25．（2023秋·贵州贵阳·高三期末）在2022年9月贵阳市疫情防控期间，某学校高一学生居家学习，为了解学生的自主学习状况，随机抽取了该年级40名学生进行网上问卷调查，获得了他们一周（五天）平均每天白主学习时间的数据（单位：分钟），并分组整理得到如下频率分布表：
(1)学校要进一步研究学生自主学习时间与学业成绩的相关性，在这5组内的40名学生中，用分层抽样的方法再选取20人进行对照研究，求从A5组中抽取的人数；
(2)在（1）的条件下，从A1组和A4组所抽取的学生中再随机抽取两人做一个心理测试，求所抽两人中至少有一人来自于A1组的概率，
26．（2023·陕西渭南·统考一模）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：10.5,9.9,9.4,10.7,10.0,9.6,10.8,10.1,9.7,9.3，记样本均值为x，样本标准差为s.
(1)求x,s；
(2)将质量在区间x-s,x+s内的零件定为一等品.
①估计这台机器生产的零件的一等品率；
②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.
27．（2023·全国·高一专题练习）一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
(1)求第二次取到红球的概率；
(2)求两次取到的球颜色相同的概率；
(3)如果袋中装的是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为25，那么n是多少？
28．（2023春·北京海淀·高一开学考试）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；
(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体有成绩在40,50和60,70的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在60,70的概率；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在70,80，80,90，90,100三组中，其中a，b，c∈N．当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值（结论不要求证明）
29．（2023·全国·高三专题练习）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心为原点，构建一个平面直角坐标系．现做如下试验：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将骰子朝上的点数作为平面直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数作为横坐标，第二次的点数作为纵坐标）．
(1)（i）请用列表的方法，表示出点P的坐标的所有可能的结果；
（ii）求点P在正方形ABCD中（含正方形内部和边界）的概率．
(2)试将正方形ABCD平移整数个单位长度，问是否存在一种平移，使得点P在正方形ABCD中的概率为13？若存在，写出平移方式；若不存在，请说明理由．
30．（2022·高一课时练习）班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1，2，3)，黄球2个(编号为4，5)，有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．甲
80
110
120
140
150
乙
100
120
x
100
160
第1箱
第2箱
第3箱
第4箱
第5箱
第6箱
第7箱
第8箱
第9箱
第10箱
烂果个数
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
区间
25,30
30,35
35,40
40,45
45,50
人数
50
50
a
150
b
时间tmin
0,12
12,24
24,36
36,48
48,60
60,72
人数
10
36
34
10
6
4
组别
分组
频数
频率
A1
180,210
4
0.1
A2
210,240
10
s
A3
240,270
n
0.3
A4
270,300
8
0.2
A5
300,330
m
t