上海市宝山区2024届高三数学下学期二模试题

这是一份上海市宝山区2024届高三数学下学期二模试题，共11页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题等内容，欢迎下载使用。
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．
1. 抛物线的焦点坐标为______.
2. 已知，则_______.
3. 将化为有理数指数幂的形式为_______.
4. 已知向量，，若，则实数.
5. 设实数满足，则.
6. 有一组数从小到大排列为：，，，，，. 若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.
7. 已知集合，且，则实数的值为.
8. 在数列中，，则_______.
9. 某公司为了了解某商品的月销售量（单位：万件）与月销售单价（单位：元/件）之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：
由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元/件时，月销售量为万件.
10.已知双曲线，以双曲线的右顶点为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_______.
11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.
假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地；
假设2：视探照灯为点，且距离地面米；
假设3：探照灯照射在地面上的光斑是椭圆.
当探照灯以某一俯角从侧扫描到侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环. 由此，通过调整的俯角，逐次扫描形成扇环、、.
第一次扫描时，光斑的长轴为，米，此时在探照灯处测得点的俯角为（如下右图）.记，经测量知米，且是公差约为米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.
空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.
13. 已知，则 （ ）.
A．B．C．D．
14. 已知随机变量服从正态分布. 若，则（ ）.
B． C． D．
15. 已知直线与平面，则下列命题中正确的是 （ ）.
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”. 现有如下两个命题：
①等比数列为“某数列”；
②对任意的等差数列，总存在两个“某数列”和，使得.
则下列选项中正确的是 （ ）.
A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在中，角的对边分别为，
已知.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径.
（1）求证：；
（2）若圆柱的体积为，求异面直线与所成角的大小.
19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投次，每投进一次得2分，否则得分. 已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没投进，则该次投进的概率为.
求甲投篮次得分的概率；
若乙投篮次得分为,求的分布和期望；
比较甲、乙的比赛结果.
20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.
（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
（2）若求的取值范围；
（3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是两点，直线与椭圆的另一个交点为．记、的面积分别为、. 求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
函数的表达式为.
（1）若，直线与曲线相切于点，求直线的方程；
（2）函数的最小正周期是，令，将函数的零点由小到大依次记为，证明：数列是严格减数列；
（3）已知定义在上的奇函数满足，
对任意，当时，都有且.
记，.
当时，是否存在，使得成立？若存在，求出符合题意的；若不存在，请说明理由.
参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
12.解：由已知得，所以
所以存在实数，使得不等式有解，则，解得
又因为且，所以在方向上的数量投影是2，
所以，围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥（如图）
故由构成的空间几何体的体积
14. 15. 16.
17.解：（1）由正弦定理得分
又由余弦定理得分
因为是三角形内角，所以分
由三角形面积公式
分
得分
因为，当且仅当时取等号，分
所以的最小值为，此时为等边三角形分
18.解：（1）证明：圆柱中，易知，从而是在圆上的投影分
又为圆的直径，可得分
由三垂线定理，就得分
（2）延长交圆于点，连接、、，
易知，（或其补角）即为所求的角分
由题知
解得分
中，
由余弦定理得
分
从而
所以异面直线与所成角的大小为分
解：（1）甲投篮次得分，即只投中次，概率
. 分
（2）由题意知的所有可能取值为
则分
分
分
分
随机变量的分布为分
期望分
（3）设甲三次投篮的得分，则=
可求得随机变量的分布为
所以分
分
又可算得分
因为，
所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定分
另解：设甲三次投篮的次数为，
则
设甲的投篮得分为，则，从而
20.解：（1）两条渐近线方程为分
设两条直线夹角为，则分
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为分
（2）设，由已知得分
，，则
得 分
又点在双曲线上，有即
从而 得.
又点是双曲线在第一象限的点，所以.
所以分
椭圆中，焦点在轴上，标准方程为分
设，直线的斜率为
则直线的方程为
联立方程组得
该方程的两根分别为和同理可得
所以分
记分
则
当且仅当即时取等号，分
所以的最小值为，此时点的坐标为分
另解:
因为，所以即
又，，代入上式化简得
，整理得
21.解（1）时，则分
从而分
所以直线的方程是分
（2）由，可知，则（），分
当时分
① 当时，，此时函数没有零点；分
② 当时，
因为，可知在上严格增，在严格减
又在上严格增，在严格减，
所以时，在时有最小值，
在时有最大值
因为所以在上没有交点，
即在上没有零点分
所以函数的零点满足，.
因为在严格减，所以.
又因为，所以数列是严格减数列分
（3）因为，
所以是以为周期的周期函数分
因为任意，当时，都有且，
所以当时，在上有唯一的最大值分
由得，分
假设存在，使得成立，
即成立
故，当时，取得最大值1；
当时，取得最大值1
由，可知①时，分
又因为是奇函数，所以当时，在上有唯一的最小值
故，当时，取得最小值；
当时，取得最小值
由，可知②时分
若成立，
则由①②得，即
因为，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立分
月销售单价（元/件）
10
15
20
25
30
月销售量（万件）
11
10
8
6
5