河北省保定市2024届高三下学期二模试题数学含解析

这是一份河北省保定市2024届高三下学期二模试题数学含解析，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，且，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的离心率为方程的解，则的渐近线的斜率的绝对值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．6名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组．当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有3个人手势一样，或有3个人手势为上述手势中的同一种，另外3个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的3个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是（ ）
A．在进行该游戏前将6人平均分成两组，共有20种分组方案
B．一次游戏共有种手势结果
C．一次游戏分不出组的概率为
D．两次游戏才分出组的概率为
8．已知椭圆的左、右焦点分别为是上的点，且在第一象限，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下图是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：℃）的折线图，则下列结论正确的是（ ）
A．这5天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为
B．这5天的最低气温的极差为
C．这5天的最高气温的众数是
D．这5天的最低气温的第40百分位数是
10．已知直四棱柱的侧棱长为3，底面是边长为2的菱形，为棱上的一点，且为底面内一动点（含边界），则下列命题正确的是（ ）
A．若与平面所成的角为，则点的轨迹与直四棱柱的交线长为
B．若点到平面的距离为，则三棱锥体积的最大值为
C．若以为球心的球经过点，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为
D．经过三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
11．已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．存在函数以及，使得的值为
三、填空题：本题共3小题，毎小题5分，共15分．
12．已知向量的夹角的余弦值为，且，则_______．
13．在等比数列中，，则_______．
14．已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则_______，_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长．
16．（15分）
某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
（1）根据表中数据，估计强化训练后的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）与成绩的中位数（中位数精确到0.01）．
（2）我们规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．
将上面的表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：．
17．（15分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，分别为的中点，且．
（1）证明：．
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）
已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为32．
（1）求C的方程；
（2）设直线AD与BE交于点Q，证明：点Q在定直线上交于点，证明：点在定直线上．
19．（17分）
已知函数为其导函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若存在两个不同的正数，使得，证明：．
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
强化训练后
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
2023～2024学年高三第二次模拟考试
高三数学试题参考答案
1．C因为的两根为，且，所以，所以，解得．
2．A因为，所以．
3．A设，则，所以为奇函数，设，可知为偶函数，所以为奇函数，则B，C错误，易知，所以A正确．
4．C连接（图略），易知，则就是异面直线与所成的角．设，则，所以．
5．D因为方程的解为或，且双曲线的离心率大于1，所以．由，解得．
6．B因为，所以，解得或（舍去），所以．
7．D一共有种分组方案，A错误．
每人有3种选择，所以一次游戏共有种手势结果，B错误．
要分出组，有两类情况．第一类情况，首先确定3个人出一样的手势，再确定另外2个人出其他两种手势中的一种，最后1个人出剩下的手势，所以能分出组的手势结果有）种．第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另外3个人出剩余两种手势中的同一种时，能分出组的手势结果有种，所以一次游戏就分出组的概率为，所以一次游戏分不出组的概率为，C错误．
两次游戏才分出组的概率为，D正确．
8．B如图，延长交于点，可知，所以，所以．
9．ACD对于A，这5天的最高气温的平均数为，最低气温的中位数为，它们的差为，A正确．
对于B，这5天的最低气温的极差为，B错误．
对于C，这5天的最高气温的众数为，C正确．
对于D，最低气温从小到大排列为，且，所以这5天的最低气温的第40百分位数是，D正确．
10．AD 对于A，可知的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，所以点的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，圆弧长为，故A正确．
对于B，可知点在线段上，所以当点与点重合时，三棱锥体积最大，且最大值为，所以B错误．对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为，所以C错误．
对于D，如图，经过三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形，其中，可得．设的中点为的中点为，连接，可得平面，所以，求得，所以，D正确．
11．ACD由，取，得，A正确．
取，得，解得．取，得，所以，B错误．取，得，所以是奇函数，C正确．
当时，在两边同时除以，得，
令，则当时，，
所以，所以，D正确．
12．4 因为，所以，解得．
13．－3 由，得．设等比数列的公比为，由，得，所以．
14．2； 圆的标准方程为，圆心，则为的角平分线，所以．设，则，
所以，则，
即，解得，则，所以点与重合，
此时，可得，所以．
15．解：（1）因为，所以
化简得，因为，所以．因为，所以．
（2）因为，所以，解得．
因为为的中线，所以，
所以．因为，所以，解得．
16．解：（1）强化训练后的平均成绩约为．
由于前三列概率之和为，设中位数为，则，解得，所以中位数约为83.13．
（2）零假设为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
补充完整的表格为
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关．
17．（1）证明：连接．因为底面是菱形，分别为的中点，
所以，所以．又，
所以平面．因为平面，所以．
（2）解：因为是的中点，所以．
又，所以平面．
连接，以为坐标原点的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示．设，则，
，
，
．
设是平面的法向量，由，得
取，可得．设是平面的法向量，
由取，可得，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18．（1）解：当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于，
直线的方程为由抛物线的对称性知，
所以，得．
联立方程组消去得．
设两点的横坐标分别为，则．
又，所以，所以的方程为．
（2）证明：由（1）知，依题意，可设直线的方程为，
则直线的方程为．联立方程组消去得，
设，则．
设，同理可得，
所以，同理可得．
直线的方程为，
即．同理，直线的方程为
．
两直线方程联立得，解得，
即直线与的交点在定直线上．
19．（1）解：．当时，单调递增；
当时，单调递减．所以，
解得，即的取值范围为．
（2）证明：不妨设，则，要证，
即证，则证，则证，
所以只需证，即．
令，则，．
当时，，则，
所以在上单调递减，则．所以．
由（1）知在上单调递增，所以，从而成立．
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
40
60
100
强化训练后
60
40
100
合计
100
100
200