山东省济宁市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析

这是一份山东省济宁市2023_2024学年高一数学下学期4月月考试题含解析，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 若向量，满足，，，则．， 若，则， 函数的图象可由函数的图象， 与向量共线的单位向量的坐标为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
考试时间：120分钟满分：150分
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
2. 若，则（）
A. B. C. D.
3. 已知点E平行四边形对角线上一点，且，则（）
A. B. C. D.
4. 若向量，满足，，，则（ ）．
A. B. C. D.
5. 若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
6. 若，则
A. B. C. D.
7. 函数的图象可由函数的图象
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
8. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（）
A. B. 7C. D. 6
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 在中，，，分别是，，的中线且交于点，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 与向量共线的单位向量的坐标为（ ）
AB.
CD.
11. 下列四个命题为真命题的是（）
A. 若向量、、，满足，，则
B. 若向量，，则、可作为平面向量的一组基底
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 若向量、满足，，，则
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，若，，，则________．
13. 已知向量满足，的夹角为，则______.
14. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）若∥，求实数t的值；
（2）若，求与夹角余弦值．
16. 已知．
（1）若（为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求的值．
17 已知．
（1）化简：；
（2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值．
18. 已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，时，求函数的最值．
19. 已知函数
（1）将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；
（2）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.济宁市第一中学2023-2024学年度第二学期阶段性测试
数学试卷
注意事项：
考试时间：120分钟满分：150分
1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知向量，，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数的等式，即可得解.
【详解】因为，则，解得.
故选：C.
2. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含的式子再代入即可解出答案．
【详解】
，
∵，，
故选：D
3. 已知点E为平行四边形对角线上一点，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.
【详解】因为，又，
所以.
故选：A.
4. 若向量，满足，，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将展开，利用数量积的定义以及，即可求解.
【详解】由可得：，
即，
将，代入可得：，
所以，
故选：B
5. 若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由对称轴为可知为最大值或最小值，即可求解.
【详解】∵，
且函数的图象的一条对称轴为，
∴当时，取最大值或最小值，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.
6. 若，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由得，则，故选B.
考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.
7. 函数的图象可由函数的图象
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由函数，再由伸缩平移变换可得解.
详解：由函数.
只需将函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，得到；
再向右平移个单位得到：.
故选B.
点睛：1．利用变换作图法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的是y＝sin的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位应得到y＝sin 2(x＋)，即y＝sin(2x＋)的图象．
2．平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x”的变化，x系数为1，而不是对“ωx＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．
8. 已知点为的重心，分别为，边上一点，，，三点共线，为的中点，若，则的最小值为（）
A. B. 7C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了，即，由三点共线定理可知，所以，.得.再利用基本不等式解决最值问题即可.
【详解】因为点为重心，所以，则.
因为三点共线，，
所以，.
所以.
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为6.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9. 在中，，，分别是，，的中线且交于点，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.
【详解】依题意，如图所示：
因为，，分别是，，的中线且交于点，
所以是的重心.
对于A：若，则，因为，
所以，显然不成立，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：
，故D正确.
故选：BCD.
10. 与向量共线的单位向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】与共线的单位向量为，求出答案.
【详解】与共线的单位向量为或.
故选：CD
11. 下列四个命题为真命题的是（）
A. 若向量、、，满足，，则
B. 若向量，，则、可作为平面向量的一组基底
C. 若向量，，则在上的投影向量为
D. 若向量、满足，，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】取，可判断A选项；利用基底的概念可判断B选项；利用投影向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，若且，，则、不一定共线，A错；
对于B选项，若向量，，则，则、不共线，
所以，、可作为平面向量的一组基底，B对；
对于C选项，因为向量，，
所以，在上的投影向量为
，C对；
对于D选项，因为向量、满足，，，
则，D错.
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，若，，，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据正弦定理直接求解即可.
【详解】解：根据正弦定理得，
因为，所以或
故答案为：或
13. 已知向量满足，的夹角为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.
【详解】，
故答案为：.
14. 已知正方形的边长为2，为对角线的交点，动点在线段上，点关于点的对称点为点，则的最大值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算的最值；法二用极化恒等式得
，当时最小，从而最大.
【详解】法一：以为坐标原点，为轴正半轴建立平面直角坐标系，设，则，，所以，当且仅当时取得最大值．
法二：由极化恒等式可得：，当时，此时的最大值为1．
【点睛】
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知向量．
（1）若∥，求实数t的值；
（2）若，求与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出和的坐标，再由∥列方程可求出实数t的值；
（2）由，得，求出t的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以，，
所以∥，
所以，解得；
【小问2详解】
因为，所以，
因为，所以，得，
所以，
设与夹角为，则，
所以与夹角的余弦值为.
16. 已知．
（1）若（为坐标原点），求与的夹角；
（2）若，求的值．
【答案】16
17. ，
【解析】
【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；
（2）由向量垂直得到数量积为，进而得到，通过平方得到，进而可得，再根据范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开，进而得解.
【小问1详解】
由得，，
又，，，
设与的夹角为,，则,
又，故与的夹角为.
【小问2详解】
由得，即，
，，故,
，.
又.
17. 已知．
（1）化简：；
（2）在中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，若，，且的面积，求a、b的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式可化简；
（2）由（1）可得，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得，解之得答案.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，即，又，所以，
因为的面积，所以，解得，又，所以，
由，解得，所以.
【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.
18. 已知向量，，函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若，时，求函数的最值．
【答案】（1）；（2）函数的最大值、最小值分别为：，．
【解析】
【分析】
（1）利用向量数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．
（2）通过的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．
【详解】（1）．
由，，
可得，，
∴单调递增区间为：．
（2）若．
当时，，
即，则，
所以函数最大值、最小值分别为：，．
【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知函数
（1）将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；
（2）将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.
【答案】（1），最小正周期为
（2）实数的取值范围是，
【解析】
【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.
（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求出的值.
【小问1详解】
，
∴函数的最小正周期.
【小问2详解】
由（1），
将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，
得到函数的图象，∴，
由，，得，，
∴在区间（）上单调递增，
同理可求得在区间（）上单调递减，
且的图象关于直线，对称，
方程等价于，
∴当时，方程有两个不同的解，，
由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且，，，
∴当时，方程有两个不同的解，，
∴，实数的取值范围是.
又∵的图象关于直线对称，∴，即，
∴.