北京市顺义区2025年高考数学一模试卷（含解析）

这是一份北京市顺义区2025年高考数学一模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合U={x|x+3≥0}，集合A={x|−2k，使得ai8；
③x1lg2x2−x2lg2x1>0．
其中正确结论的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知双曲线C：x2a2−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，且过点M(2, 3)，则双曲线C的渐近线方程为______．
12.若(1−2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0= ______；a1+a3+a5= ______．
13.已知直线l：y=kx−1与圆O：(x−1)2+(y−1)2=1有两个交点，则k可以是______.(写出满足条件的一个值即可)
14.在△ABC中，2b=3c，∠A=2∠C，则csC= ______．
15.已知函数f(x)=1x,01.数列{an}满足a1=m(m>0)，an+1=f(an).
给出下列四个结论：
①若a3=3，则m有3个不同的可能取值；
②若m= 2−1，则an+3=an(n∈N∗)；
③对于任意m>2，存在正整数T，使得an+T=an(n∈N∗)；
④对于任意大于2的正整数T，存在m>1，使得an+T=an(n∈N∗)；
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，PA=AB=2，PB=2 2．
(Ⅰ)若平面ACE与棱PD交于点E，且PB//平面ACE，求证：E是PD中点；
(Ⅱ)若F是棱PD上一点，且满足PFPD=23，当BD⊥PC时，求PC与平面ACF所成角的正弦值．
17.(本小题13分)
已知函数f(x)=sin(ωx−π3)+ 3csωx(ω>0)．
(Ⅰ)求f(0)的值；
(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数f(x)存在且唯，确定.当f(x)在区间(0,a)(a>0)上仅有一个零点时，求a的取值范围．
条件①：f(x)在[π12,7π12]上是单调函数；
条件②：y=f(x)图象的一个对称中心为(π3,0)；
条件③：对任意的x∈R，都有f(x)≤f(π12)成立．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.(本小题14分)
AI智能阅卷是一种利用人工智能技术对试卷进行批改和评估的技术，它可以帮助教师提高阅卷效率，并为学生提供更快速更有针对性的反馈.某教师尝试使用AI系统进行阅卷，由甲、乙两种系统进行独立阅卷评分.如果两个系统评分相差2分及以下，则以两种系统评分的平均分作为最后得分；如果两个系统评分相差3分及以上，则人工进行复核阅卷并给出最后得分.从两种系统进行阅卷的试卷中随机抽取12份试卷作为样本，其评分情况如下表所示：
(Ⅰ)从这12份试卷中随机选取1份，求甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的概率；
(Ⅱ)从这12份试卷中随机选取3份，甲、乙两种系统评分之差的绝对值不超过2分的份数记为X，求X的分布列和数学期望；
(Ⅲ)从上述的12份试卷中随机抽取1份，设甲系统对其评分为Y1，乙系统对其评分为Y2，最后得分为Z.令ξ=|Y1−Z|，η=|Y2−Z|，试比较方差Dξ和Dη的大小.(结论不要求证明)
19.(本小题15分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(−2,0)，离心率为 22．
(Ⅰ)求E的方程和短轴长；
(Ⅱ)直线l：y=kx+1与E相交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线x=4交于点M，N.当|MN|=6时，求k的值．
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=3sinx−xcsx．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)设g(x)=f′(x)，求证：g(x)是(0,π)上的单调递减函数；
(Ⅲ)求证：当x>0时，f(x)1，a5k，使得aik，使得ai0，
则2(2cs2C+cs2C)=3，即2(2cs2C+2cs2C−1)=3，解得cs2C=58，
又2b=3c，
则C1，可得a3=a2−1=1m−1=3，解得m=14．
当m∈(1,+∞)时，有两种情况：
(1)若m∈(1,2]，则a1=m，a2=m−1∈(0,1]，可得a3=1m−1=3，解得m=43；
(2)若m∈(2,+∞)，则a1=m，a2=m−1∈(1,+∞)，可得a3=a2−1=m−2=3，解得m=5．
综上所述，若a3=3，则m=14或43或5，有3个不同的m值符合条件，故①正确．
对于②，若m= 2−1∈(0,1]，则a2=f(a1)=f(m)=1 2−1= 2+1>1．
a3=f(a2)=a2−1= 2>1，可得a4=f(a3)=a3−1= 2−1=a1，
所以a5= 2+1=a2，a6= 2=a3，…，可知an+3=an对任意正整数成立，故②正确．
对于③，若m>2，取m=3，则a1=m=3，a2=a1−1=2，a3=a2−1=1，a4=1a3=1，a5=1a4=1，…，
此时{an}不是周期数列，即不存在正整数T，使得an+T=an成立，故③不正确；
对于④，T为大于2的正整数，满足a1−(T−1)=1a1的a1，就是使得an+T=an(n∈N∗)成立的m值．
证明如下：
由a1−(T−1)=1a1，整理得a12−(T−1)a1−1=0，解得a1=T−1+ (T−1)2+42=m(舍负)，
可知a1=m∈(T−1,T)．
结合题意得a1=m，a2=m−1，…，aT=m−(T−1)∈(0,1)，
所以aT+1=1aT=1m−(T−1)=1a1−(T−1)=11a1=a1，可得aT+2=a1−1=m−1=a2，…，
即an+T=an对任意的n∈N∗成立，故④正确．
综上所述，所有正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
根据m是否大于1进行讨论，结合分段函数的表达式求出满足a3=3的m值，即可判断出①的正误；当m= 2−1时，利用f(x)的表达式求出a4= 2−1=a1，a5= 2+1=a2，a6= 2=a3，…，由此判断出②的正误；通过举反例进行说明，判断出③的正误；根据f(x)的表达式求出使an+T=an(n∈N∗)成立的m值，进而判断出④的正误．
本题主要考查分段函数的性质、数列的递推关系、函数与数列的综合应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
16.【答案】(Ⅰ)证明见解答；(Ⅱ) 64．
【解析】解：(Ⅰ)证明：设AC与BD交点为O，连结OE，
因为PB/​/平面ACE，平面PBD∩平面ACE=OE，
PB⊂平面PBD，
所以PB/​/OE，
又因为O为AC中点，
所以E是PD中点，
(Ⅱ)因为BD⊥PC，BD⊥AC，AC∩PC=C，
所以BD⊥平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA，
因为PB=2 2，AB=PA=2，
所以PB2=AB2+PA2，
即可知PA⊥AB，又BD∩AB=B，
所以PA⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，经过点O且平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系O−xyz，
则O(0,0,0)，A(0,−1,0)，C(0,1,0)，P(0,−1,2)，D(− 3,0,0)，
因此PC=(0,2,−2)，AC=(0,2,0)，PD=(− 3,1,−2)，
因为PFPD=23，所以PF=23PD=(−2 33,23,−43)，
所以F(−2 33,−13,23)，
因此AF=(−2 33,23,23)．
设平面ACF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AF=0n⋅AC=0，即−2 33x+23y+23z=0,2y=0.
令x=1，则z= 3，
于是n=(1,0, 3)．
所以cs〈n,PC〉=n⋅PC|n||PC|=−2 32×2 2=− 64．
设PC与平面ACF所成角为θ，
则sinθ=|cs〈n,PC〉|= 64，
所以，PC与平面ACF所成角的正弦值为 64．
(Ⅰ)先证PB/​/OE，即可得证；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系O−xyz，求出平面ACF的法向量，利用向量法求解即可．
本题考查线线平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】(Ⅰ) 32；
(Ⅱ)(π3,5π6]．
【解析】解：(Ⅰ)因为f(x)=sin(ωx−π3)+ 3csωx(ω>0)，
所以f(0)=sin(−π3)+ 3cs0=−sinπ3+ 3= 32；
(Ⅱ)f(x)=sin(ωx−π3)+ 3csωx(ω>0)
=sinωxcs(−π3)+csωxsin(−π3)+ 3csωx
=12sinωx+ 32csωx=sinωxcsπ3+csωxsinπ3=sin(ωx+π3)，
选择条件①②：因为f(x)在[π12,7π12]上是单调函数，
所以最小正周期T满足：12T≥712π−112π，即T≥π，
所以2πω≥π，又ω>0，所以0