江苏省常州高级中学2022-2023学年高一下学期期末质量检查数学试卷（含答案）

这是一份江苏省常州高级中学2022-2023学年高一下学期期末质量检查数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省常州高级中学2022-2023学年高一下学期期末质量检查数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2、若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；
③若外一条直线l与内的一条直线平行，则.
以上说法中成立的有( )个.
A.0 B.1 C.2 D.3
3、如图，在正方体中，二面角的大小为( )

A. B. C. D.
4、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为( )

A. B. C. D.
5、在中，，点M满足，若，则BC的值为( )
A.1 B. C.2 D.3
6、正四面体ABCD中异面直线AB与CD所成角为，侧棱AB与底面BCD所成角为，侧面ABC与底面BCD所成的锐二面角为，则( )
A. B. C. D.
7、中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，角C的平分线交边AB于点D.若，，且，则中最长的边为( )
A. B. C. D.4
8、已知三棱雉的四个顶点在球O的球面上，，是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：

则下列结论中正确的是( )
A.招商引资后，工资性收入较前一年增加
B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
10、一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是( )
A.事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件
B.事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件
C.事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立
D.该运动员击中目标的概率为
11、长方体中，，，，点E，点F分别线段AC，的中点，点P，点Q分别为线段AC，上的动点，则下列说法正确的是( )
A.
B.三棱锥体积的最大值为10
C.若的周长为10，则
D.的最小值为7
12、在圆O的内接四边形ABCD中，，，，.则下列说法正确的是( )
A.四边形ABCD的面积为 B.圆O的半径为
C. D.若于点H，则
三、填空题
13、某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为_____.
14、______.
15、甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为______.
16、设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动.O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______.

四、解答题
17、已知向量，向量与的夹角为，且.
（1）求向量的坐标；
（2）设向量，，向量，若，求的最大值并求出此时x的取值集合.
18、如图，在四棱锥中，四边形ABCD为平行四边形，，，M为上一点，且平面ACE.

（1）求证：
（2）如果点N为线段AB的中点，求证：平面ADE
19、某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：

（1）估计两组测试的平均成绩，
（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率.
20、如图所示，在平行四边形ABCD中，，，E为AB的中点，将沿直线DE翻折成，使平面平面BCD，F为线段PC的中点.

（1）证明：平面PDE；
（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值.
21、记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C的大小；
（2）若点D在边AB上，且，，求的值.
22、在正方体中，E为的中点，过A，E的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点.

（1）已知点H在棱BC上，且，若用平面，求；
（2）若，求点D到平面AEF的最大距离.
参考答案
1、答案：D
解析：复数，
则其在复平面所对应的点为，故其在第四象限，
故选：D.
2、答案：C
解析：对于①，设、为平面内两条相交直线，m、n为平面内两条相交直线，
且满足，，
因为，，，所以，，同理可得，
因为a、b为平面内两条相交直线，故，①对；
对于②，设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、相交（不一定垂直），②错；
对于③，若外一条直线l与内的一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，，③对.
所以，真命题的个数为2.
故选：C.
3、答案：B
解析：由题可知：
在正方体中，平面
由平面，所以，又
所以二面角的平面角为，
因为，则
故选：B
4、答案：D
解析：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为.
故选：D.
5、答案：C
解析：
取BC中点O，连接AO，
，即，
M为BC边上靠近C的四等分点，
，
，，，
又，，
.
故选：C.
6、答案：A
解析：过A作A在底面的射影O，是正四面体，O是底面的中心，
取BC的中点E，连接OB，OE，AE，如图所示，

在正四面体中，平面BCD，平面BCD，，
又，AO，平面ABO，，则平面ABO，平面ABO，，即异面直线AB与CD所成的角为，
侧棱AB在底面BCD内的射影为OB，则是侧棱AB与底面BCD所成的角，即，
，，侧面ABC与底面BCD所成的角为，，
，，
，，即，则，即.
故选：A
7、答案：B
解析：因为，由，即，
整理可得，
由余弦定理可得，
所以，，即，解得或（舍）.
所以，，即，解得或，
因为，故中最长的边为，
故选：B.
8、答案：D
解析：解法一:，为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又E，F分别为PA、AB中点，
，，又，，平面PAC，平面PAC，，，为正方体一部分，，即，，故选D.

解法二:
设，E，F分别为PA，AB中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于D，，
为AC中点，，，
，，，又，PA，PB，PC两两垂直，，，，故选D.
9、答案：AD
解析：设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则
对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资性收入增加了，故A正确；
对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；
对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；
对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
故选：AD.
10、答案：ABD
解析：事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A正确；
事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B正确；
事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C错误；
该运动员未击中目标的概率为，
则该运动员击中目标的概率为，故D正确.
故选：ABD.
11、答案：AB
解析：对于选项A，因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，平面，所以，正确；
对于选项B，因为平面平面，所以点P到平面的距离h即点P到BC的距离h，
所以点P到平面的最大距离为3，又，
所以，所以，
即三棱锥体积的最大值为10，正确；
对于选项C，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，
所以在中，，若，则点Q与点重合，
此时即的周长为，错误；

对于选项D，将矩形和矩形展开为矩形，
则，错误.

故选：AB
12、答案：ACD
解析：对于A，连接AC，在中，，，
，，解得，
，，，
，
，
四边形ABCD的面积，故A正确；
对于B，设外接圆半径为R，则由正弦定理得，
该外接圆的半径为，故B错误；
对于C，过点O作于点G，过点D作于点N
所以，，，
则由垂径定理得，
，，
解得，，，，
，，故C正确；
对于D，由C选项得，，
，故D正确.
故选：ACD.

13、答案：4
解析：由题意可得：，，
设，，则，解得，
∴
故答案为4.
14、答案：或0.25
解析：

，
故答案为：
15、答案：
解析：根据题意，比赛为“三局两胜”制（无平局），则甲获胜分为比赛2局或者比赛3局两种情况，
则甲获得冠军的概率为：.
故答案为：.
16、答案：
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设，，
则，
，
由于，所以，故，
故的取值范围为，
故答案为：

17、答案：（1）或；
（2）3，.
解析：（1）设，依题意，，，而，
因此，解得或，
所以向量的坐标是或.
（2）向量，且，当时，，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，即，则，
，
因为，则当，，即，时，，
所以的最大值是3，此时x的取值集合是.
18、答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
解析：（1）平面ACE，平面ACE，，即；
又，，BE、平面EBC
平面BCE，
因为平面BCE，
；
（2）取CD中点F，连接MF，NF；
平面ACE，平面ACE，
，又 ；
是CE的中点；，平面ADE，平面ADE；
平面ADE，
同理，平面ADE，，
平面MFN，平面MFN
平面平面ADE，平面MFN；
平面ADE；

19、答案：（1）“田径队”的平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71
（2）
解析：（1）由田径队的频率分布直方图得：，
解得，同理可得.
其中“田径队”的平均成绩为：
，
“足球队”的平均成绩为：
.
（2）“田径队”中90分以上的有（人），
“足球队”中90分以上有（人）.
所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；
在“足球队”抽取（人）.记作A，B，C.
从中任选2人包含的基本事件有：
ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，
正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，
故正、副队长都来自“田径队”的概率为.
20、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）取PD的中点G，连接EG，GF，

F，分别为PC，PD的中点，，
又E为AB的中点，，，
，，FGEB为平行四边形，，
又面PDE，面PDE，平面PDE.
（2）在平行四边形ABCD中，因为，所以，
又因为，可得即，
因为平面平面BCD，平面平面，
所以平面平面PDE，
由（1）可知，，所以平面PDE，连接GM，
即为直线MF与平面PDE所成的角，
因为，，
所以，
即直线MF与平面PDE所成的角的正切值为.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理可得，
由正弦定理可得，
由于，所以，
（2）设，则.
，，故，
，
在中，由正弦定理可得，即，
在中，同理，
，
，即，整理得，
又，故
所以的值为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）
设平面与平面的交线为l，
因为平面，平面平面，平面，
所以
由正方体知，平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，所以，取BC的中点G，连接，易知，
所以，
又因为H为CG的中点，所以F为的中点.
所以
（2）以点D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则有，，，
其中，，，，设平面AEF的法向量为，
则有不妨取，则，
所以，
当，即点F与点重合时，取等号，所以点D到平面AEF的最大距离为.