2024-2025学年浙江省杭州市富阳区高一下册3月月考数学检测试题（附答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州市富阳区高一下册3月月考数学检测试题（附答案），共10页。试卷主要包含了若复数，则的虚部为，已知复数，，则下列命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则的虚部为( )
A． B．C． D．
2．如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为( )
A．4B．8
C．D．
3．在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则( )
A．B．C．D．
4．在中，，，点，是边上两个三等分点，则( )
A．B．
C．D．
5．已知向量，，向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6．已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为( )
A．B．C．D．
7．已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为( )
A. B. C. D.
8．平面向量，，满足，，，且，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分．
9．已知复数，，则下列命题正确的有( )
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法中正确的是( )
A．若，，则一定是等边三角形
B．若，则一定是钝角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是直角三角形
11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是
( )
A．当时，B．当时，
C．对任意，不成立D．若，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知复数满足，则的最大值为 ．
13．已知正四棱台的上下底面分别是边长为2和4的正方形，侧棱长为2，则该正四棱台的体积为 ．
14．若G为的重心，，则的最小值为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题满分13分)已知复数满足，且为纯虚数．
（1）求；
（2）若，求实数，的值．
16．(本题满分15分)如图，正三棱锥中，,,点分别为，的中点，一只蚂蚁从点出发，沿三棱锥侧面爬行到点，求：
（1）该三棱锥的体积与表面积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
17．(本题满分15分)如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点．
（1）求的长；
（2）求的取值范围．
18．(本题满分17分)如图，在中，，，且. 为线段上的两个动点(在的右侧)，且.
（1）若时，求的周长；
（2）若的面积是的面积的倍，求的大小；
（3）当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
19．(本题满分17分)正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，又称为柏拉图多面体，因为柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名．自然界中有许多的柏拉图多面体，如甲烷、金刚石分子结构模型都是正四面体，氯化钠的分子结构模型是正六面体，萤石的结晶体有时是正八面体，硫化体的结晶体有时会接近正十二面体的形状……柏拉图多面体满足性质：（其中V，F和E分别表示多面体的顶点数，面数和棱数）．
（1）如图所示的正方体中，点为正方体六个面的中心，假设几何体的体积为，正方体的体积为，求的值；
（2）正十二面体共有几条棱，几个顶点？
（3）判断柏拉图多面体有多少种？并说明理由．
高一年级3月月考（答案）
12． 13． 14．
15.（1），则；
（2），.
【详解】（1）为纯虚数，，
且，，，
；
（2）法一：把代入：，
，
化简得：，
即，
解得：，.
法二：的一根为，则另一根为：，
则，
解得：，.
16.（1）体积为，表面积为；
（2）最短路线长为.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，VB、VC在面VBC内，得面，
，
（2）如下图：连接，线段的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
△中，，
由余弦定理可得：，
即.
17.【详解】（1），，
由，则，
，
可得，解得.
（2）由图可得，
，
，
由，则.
18.【详解】（1）由，，，
得，又，则，，
所以，
在中，
由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，
∴的周长为.
（2）设，
的面积是的面积的倍
所以，即，
在中，，
由，得，
从而，即，而，
由，得，所以，即.
（3）设，由（2）知，
又在中，由，得，
所以
，
所以当且仅当，
即时，的面积取最小值为.
19.【详解】（1）设正方体的棱长为，则，
几何体所有棱长为，是正八面体，
所以，
所以；
（2）根据柏拉图多面体满足性质：，
正十二面体有个面，即，则，
设正十二面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，即，
所以，所以，
所以，即，
由，得，
当，即时，，符合题意，
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
当，即时，（舍去），
综上所述，，，
此时，
即正十二面体共有条棱，个顶点；
（3）假多面体每一个面都是正边形，每一个顶点处有条棱，
因为多边形至少有条边，而再每个顶点处至少有条棱，
则，
由于每条棱都出现在相邻的两个面中，每条棱连接两个顶点，
则有，
代入可得，即，
当时，，
这与矛盾，
所以中至少有一个等于，
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正八面体，正二十面体；
若，则，
由于，则，
因此，则，对应，
所以存在正四面体，正六面体，正十二面体
综上所述，柏拉图多面体只有种.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
A
B
D
D
BC
ABD
题号
11









答案
ABD