2024-2025学年福建省福州市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市高一下册第一次月考数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了已知复数，、，则，在∆ABC中，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上。
2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．若，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，为共线向量，且，，则（ ）
A．B．C．40D．
3．已知复数，、，则（ ）
A．B．C．D．
4．在∆ABC中，角的对边分别为，已知 则（ ）
A．45°或135°B．135°
C．45°D．60°或120°
5．在∆ABC中，角所对的边分别为，，，则∆ABC外接圆的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距30海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知a,b是单位向量，且a,b的夹角为，若向量c满足|c−a+2b|=2，则|c|的最大值为
A．B．C．D．
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。)
9．复数，i是虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．z的虚部为2D．z在复平面内对应的点位于第一象限
10．在∆ABC中，下列说法正确的有：（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
11．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A．a⊥bB．a+b=2
C．、a−b=2D．向量a、b夹角为60°
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．若复数，则 ，
13．在∆ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则最大角的余弦值是 .
14．赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”（1弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比，可构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的一个较大的等边三角形，设且，则可推出 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（本小题满分13分）
已知复数．
(1)若复数为纯虚数，求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
（本小题满分15分）
已知两个非零向量.
（Ⅰ）若向量是夹角为120°的单位向量，试确定实数，使和垂直；
（Ⅱ）若，，，求证：三点共线.
17．（本小题满分15分）
在∆ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知，，．
(1)求b，c的值；
(2)求的值．
18．（本小题满分17分）
已知向量，满足，，．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角．
19．（本小题满分17分）
已知∆ABC的内角所对的边分别是，．
(1)求角；
(2)若∆ABC外接圆的周长为，求∆ABC周长的取值范围．
答案
1．A
【分析】根据复数的除法运算求解.
【详解】.
故选：A.
2．A
【分析】利用共线向量的坐标表示及模的公式求解即可.
【详解】∵，为共线向量，∴，即，
∴，.
故选：A.
3．D
【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值.
【详解】，所以，，则，因此，.
故选：D.
4．C
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理得：得：，
因为，所以，所以.
故选：C
5．B
【分析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.
【详解】因为，所以，
由余弦定理得，，
所以，
设外接圆的半径为，由正统定理得，，
所以，
所以外接圆的面积是.
故选：B.
6．C
【分析】由余弦定理解三角形可得.
【详解】如图，由题意可得．在中，由余弦定理可得
海里，
故甲船至少需要航行的海里数为．
故选：C.

7．B
【分析】根据与的夹角为锐角，由且与不共线求解.
【详解】解：因为，
所以，
因为与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
解得，
当时，则，
即，解得，
当时，与共线且同向，
所以的取值范围为，
故选：B
8．A
【详解】分析：建立直角坐标系，设出相关向量的坐标，利用已知条件得到，再利用圆的几何性质进行求解．
详解：建立平面直角坐标系，
设，
则，
由，得，
即，
且，
则，
即，
即的最大值为．
点睛：本题考查平面向量的数量积运算、模的计算公式等知识，意在考查学生的数学转化能力和逻辑思维能力．
9．ACD
【分析】根据共轭复数的定义即可求解A，根据模长公式即可求解B，根据虚部的概念求解C，根据复数的几何意义即可求解D.
【详解】因为，则，故A正确；
，故B错误；
的虚部为2，故C正确；
z在复平面内对应的点在第一象限，故D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A选项的正误；利用A选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判断D选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，若，则，由正弦定理可得，A对；
对于B选项，因为，且余弦函数在上为减函数，
故，B对；
对于C选项，取，，则，，
此时，，C错.
对于D选项，若，则，
则，D对；
故选：ABD.
11．AC
【分析】运用向量的垂直，模长，夹角相关公式，结合数量积定义可解.
【详解】，又因为，所以，故，所以A正确，D不正确；
，故，所以B不正确，，所以，正确．
故选：．
12．0
【分析】利用复数四则运算与相等的性质即可得解.
【详解】因为，所以，故，则.
故0.
13．/
【分析】由正弦定理以及三角形的性质，可得，并可判断最大角为，再由余弦定理即可求出结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，，
所以，即角最大，
设，其中，
所以.
故答案为.
14．
【分析】设，根据与，利用余弦定理求出，，设出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m与n的值，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算求出与的值，进而求出的值.
【详解】设，，则，，因为和是等边三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，过点D作DG⊥AB于点G，设AG=m，DG=n，则BG=2-m，由勾股定理得： ，解得：
如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB的直线为y轴建立直角坐标系，
则，，，，则 ，，，由得：，即，解得：，则
故
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的特征，列式求，再根据共轭复数的形式求解；
（2）根据复数的几何意义，转化为复数的实部和虚部的正负，即可求解.
【详解】（1）若复数是纯虚数，
则，解得，
则，所以；
（2）由复数的几何意义可知，
，得.
16．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【分析】（Ⅰ）令，展开再利用向量数量积定义，即可确定实数.
（Ⅱ）由条件推得，再根据向量共线的条件得证结论．
【详解】（Ⅰ）∵和垂直
∴
∴
∴
∴
（Ⅱ）∵，
∴
∵有公共点
∴三点共线
向量共线：
（1），
（2）
（3）若，则三点共线
（4）三点共线
17．(1)，
(2)
【分析】（1）由已知条件利用余弦定理再结合可求出b，c的值，
（2），得，再由正弦定理求出，由同角三角函数的关系求出，然后利用两角差的正弦公式可求得答案
【详解】（1）由余弦定理，
得．因为，所以，解得，．
（2）由，得．
由正弦定理得．
在中，因为B是钝角，所以A为锐角，所以．
故．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由条件推理求得利用向量数量积的运算律即可求得；
（2）利用计算向量夹角的公式，先求和，再代入公式计算即得.
【详解】（1）因，,
由可得，
，即
于是，；
（2）设向量与的夹角为，
则，
因，
，，
即与的夹角为．
19．(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
（2）法一：由正弦定理可得，由余弦定理，基本不等式可求的范围，进而可求的周长的最大值；法二：利用正弦定理，将周长化为角A的函数求出范围即可.
【详解】（1）由正弦定理可得，即．
由余弦定理得.
又，所以．
（2）方法一：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为．
由正弦定理得，则．
由余弦定理得．
因为，所以，即，
由三角形性质知，
当且仅当时，等号成立．
所以，故△周长的取值范围为．
方法二：因为△外接圆的周长为，所以△外接圆的直径为． 
由正弦定理得，则．



∵
∴ ，∴
故△周长的取值范围为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
C
B
C
B
A
ACD
ABD
题号
11









答案
AC