2024-2025学年福建省三明市沙县区高一下册第一次月考（3月）数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市沙县区高一下册第一次月考（3月）数学检测试题（附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分、共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若（，是虚数单位），则的值分别等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据复数相等定义求值即可.
【详解】根据复数相等的定义，可得.
故选：A.
2. 已知向量，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正确答案】C
【分析】因，则=0，后由数量积的坐标运算法则可得答案.
【详解】因，则，得.
故选：C
3. 已知为不共线向量，，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
【正确答案】A
【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论.
【详解】因为，所以三点共线，
故选：A．
4. 已知中，，，，则等于（ ）
A. B. C. D. 5
【正确答案】A
【分析】利用余弦定理可直接求出.
【详解】在中，，
由余弦定理得，
所以.
故选：A.
本题考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的两边及其夹角，求第三边时通常利用余弦定理，本题属于基础题.
5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.
【详解】在上的投影向量为：
.
故选：B
6. 在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可.
【详解】在中，为的中点，为的中点，
则，所以，.
故选：B
7. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【正确答案】B
【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
8. 如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据数量积的几何意义结合已知图形得出的最值，再利用数量积即可求出.
【详解】，由投影的定义知，结合图形得，
当过P的直线与半圆弧相切于P点且平行于BC时，最大为，
此时；
当P在C或B点重合时，最小为，
此时
∴
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知是平面内的一组基底，则下列向量中能作为一组基底的是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【正确答案】ABD
【分析】根据不共线的向量可作为一组基底判断.
【详解】解：对于A，与不共线，故可作为一组基底，故A正确；
对于B，和不共线，故可作为一组基底，故B正确；
对于C，，故不能作为一组基底，故C错误；
对于D，和不共线，故可作为一组基底，故D正确.
故选:ABD.
10. 在复平面内，复数对应的点为则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】由对应点的坐标写出复数，然后由复数的运算法则计算后判断．
【详解】
，正确
，错误
，正确
，错误
故选：AC．
11. 已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，，则外接圆半径为10
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，，则
【正确答案】ACD
【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用三角形面积公式可知D正确.
【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，所以，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简______
【正确答案】
【分析】利用向量的加、减法运算即可.
【详解】
故答案为.
13. 在中，，则________________．
【正确答案】
【分析】根据正弦定理即可求得角B的大小，计算可得.
【详解】由于，
由正弦定理可得，，
即
所以，
故
14. 已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．
【正确答案】
【详解】试题分析：因为向量与夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得：
考点：向量夹角及坐标运算.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）若z为实数，求m值：
（2）若z为纯虚数，求m值；
（3）若复数z对应的点在第一象限，求m的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据复数为实数的性质进行求解即可；
（2）根据纯虚数的定义进行求解即可；
（3）根据第一象限点的坐标特征进行求解即可.
【小问1详解】
因为z为实数，
所以；
【小问2详解】
因为z为纯虚数，
所以；
【小问3详解】
因为复数z对应的点在第一象限，
所以.
16. 平面内给定两个向量，
（1）求；
（2）若，求实数k的值.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）根据数乘向量以及向量加法的坐标运算得到的坐标，再利用坐标计算模长；
（2）根据数乘向量以及向量加减法的坐标运算分别计算出两个共线向量的坐标，利用向量共线的坐标表示可求解.
【小问1详解】
因为，，
所以，则
【小问2详解】
由题意，，.
因为，则，解得.
17. 在中，角所对的边分别为，，，且.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求的面积.
【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】（Ⅰ）根据余弦定理进行求解即可；
（Ⅱ）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.
【详解】解：（Ⅰ），
由余弦定理知，，
又，所以，
（Ⅱ）由，代入得，
解得（舍去负根），
所以的面积.
18. 设河宽，水流的速度，船在静水中的速度，则船必须朝哪个方向开，才能保证：
（1）所走的路程最短？
（2）所用的时间最短？
【正确答案】（1）船朝着与水流方向成角的方向开，才能保证所走的路程最短；
（2）船朝着与河岸垂直方向开，才能保证所用的时间最短.
【分析】（1）当船的实际速度垂直河岸方向时，所走的路程等于点到直线的距离，为最短路程，根据题意求出相关夹角即可确定船头方向；
（2）当船头方向不与河岸垂直时，会得到一个比小的垂直于岸边的速度，用时更长，故船头方向与河岸垂直时用时最短.
【小问1详解】
根据题意，船在静水中的速度为，水流的速度为，设船的实际速度为，则.
如图1，在直角三角形中，，所以.此时，船的实际速度的方向与河岸垂直，路程最短.
所以，船朝着与水流方向成角的方向开，才能保证所走的路程最短.
【小问2详解】
如图2，当船头方向与河岸垂直时，行驶时间为为最短.
所以，船朝着与河岸垂直的方向开，才能保证所用的时间最短.
19. 在平行四边形中，是的中点，交于点，，，的夹角为.
（1）若，求的值：
（2）当点在平行四边形的边和上运动时，求的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）以为基底表示出，再通过向量的数乘运算及加减运算表示出，可以得到的值，计算即可；
（2）利用向量的数乘运算表达点的位置，以为基底表示出，根据向量数量积的定义和运算律，结合参数的范围计算即可.
【小问1详解】

如图，由题意，因为，所以，
且是中点，即,
即,
.
【小问2详解】

当在上运动时，设，则,
，
，
，
又，.
当在上运动时，设，则，
，
又，
综上所述，的取值范围是