2024-2025学年福建省三明市沙县区高二下册3月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年福建省三明市沙县区高二下册3月月考数学检测试题（附解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，导函数为，那么等于（ ）
A. B. C. D. 1
【正确答案】C
【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型.
2. 已知，则（ ）
A. 28B. 30C. 56D. 72
【正确答案】C
【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值.
【详解】因为，
所以由组合数性质得，，
所以.
故选：C.
3. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（ ）
A. -1或1B. -1或3C. -1D. 3
【正确答案】B
【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值.
【详解】令，解得，故切点为或，
而，所以或.
故选：B
4. 在端午小长假期间，某办公室要从4名职员中选出若干人在3天假期坚守岗位，每天只需1人值班，则不同排班方法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 64种D. 81种
【正确答案】C
【分析】分析每天排班方法数，再由分步计数原理求解即可
【详解】根据题意，第一天值班可以安排4名职员中的任意1人，有4种排班方法，
同理第二天和第三天也有4种排班方法，
根据分步计数原理可知，不同的排班方法有种，
故选：C
5. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 有极大值B. 有极小值
C. 有极大值D. 有极小值
【正确答案】A
【分析】由函数的图象，可得函数的单调性，则答案可求.
【详解】函数的图象如图所示，
当时，；当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，
有极大值，无极小值，
故选.
6. 从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A. 48B. 72C. 90D. 96
【正确答案】D
【详解】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有•=72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有=24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
故答案为96
点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．
7. 若函数有最大值，则实数的值是（ ）
A. 1B. C. 4D.
【正确答案】B
【分析】通过导数确定为临界点，由的符号分类讨论求解即可.
【详解】，
令，得临界点（因，舍去），
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时无最大值，
当时，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为，
所以，满足题意，
故选.
8. 已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案.
【详解】解：设＝，
则＝，
∵，∴，
∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，
∵
∴＝，
又＝，
∴，
∴，
∴的解集为．
故选：A．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
【详解】A选项，，故A选项正确；
B选项，，故B选项错误；
C选项，，故C选项正确；
D选项，，故D选项错误；
故选：AC
10. [多选题]下列说法正确的是（ ）
A. 可表示为
B. 若把英文“her”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种
C. 10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次
D. 老师手里有3张参观游园的门票分给7人中的3人，则分法有种
【正确答案】ABC
【分析】由排列数公式可判断A；由排列定义可判断B；由组合定义可判断C D．
【详解】A项，，正确；
B项，h，e，r，的全排列为（种），正确的有1种，故可能出现的错误共有（种），正确；
C项，10个朋友，两个人握手一次，共握手（次），正确；
D项，3张门票属于相同元素，故应有种分法，D不正确．
故选：ABC.
11. 已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 的单调减区间是，B. 的定义域是
C. 的值域是D. 与有一个公共点，则或
【正确答案】ABD
【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.
【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；
对A，，令可得和，
解得和，故的单调减区间是，，故A正确；
对C，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C错误；
对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数在上最小值为___________.
【正确答案】
【分析】利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最值.
【详解】，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以函数上单调递减；在上单调递增；
所以.
故
13. 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成______种不同的信号．
【正确答案】39
【分析】根据给定条件分成每次升1面、升2面、升3面旗3类，求出各类表示的信号数，再将各类信号数相加即得.
【详解】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成种不同的信号；每次升3面旗可组成种不同的信号，
根据分类加法计数原理，共可组成种不同的信号．
故39
14. 已知关于的方程在区间内有两个不同的实数根，则实数的取值范围是__________．
【正确答案】
【分析】运用分离参数法，将方程有两个实数根的问题转化成两个函数在给定区间上有两个交点问题，继而只需研究函数的图象的单调性、最值和端点值比较即得.
【详解】由可得：，设，依题意，函数与函数的图象在时有两个交点.
由，，，
可知当时，，为减函数，当时，，为增函数，故时，
又且由知

如图，要使函数与函数的图象在时有两个交点，须使，即实数的取值范围为.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）如果至少有位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据组合数公式，即可求出结果；
（2）由题意可知，“没有女生入选”是“至少有位女生入选”的对立事件，由此即可求出结果
【小问1详解】
解：从位女生，位男生中选出人参加垃圾分类宣传活动，
选择方法数为.
【小问2详解】
解：没有女生入选的选择方法数为，
所以至少有位女生入选的选择方法数为.
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【正确答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.
【详解】函数的定义域为，
，
求导，.
由点斜式得切线方程为：，即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，，
令，得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.
17. 已知函数是函数的一个极值点.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当，求函数的最小值.
【正确答案】（1）和；（2）.
【分析】
（1）由极值点求出参数，再代入，解不等式求递增区间
（2）求在上的极值，与端点值比较得出最小值.
【详解】（1）由题意
，则
，当时，；
当时，；当时，.
所以，函数的单调递增区间为和
（2）当时，的变化情况如下表
当.
当.
所以当时，函数的最小值为.
用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
18. 毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：
（1）、两人不排在一起，有几种排法？
（2）、两人必须排在一起，有几种排法？
（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用插空法可求出排法种数；
（2）利用捆绑法可求出排法种数；
（3）分两种情况讨论：①若在排尾；②若不在排尾.分别求出每一种情况的排法种数，由加法原理计算可得出答案.
【详解】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；
（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，
因此，排法种数为；
（3）分以下两种情况讨论：
①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；
②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位置即可，此时，共有种排法.
综上所述，共有种不同的排法种数.
本题考查了排列、组合的应用，同时也考查了插空法、捆绑法以及分类计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.
19. 已知是函数的一个极值点.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.
【正确答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的取值范围为
【详解】试题分析：（1）先求导，再由是函数的一个极值点即求解；（2）由（2）确定，再由和求得单调区间；（3）由（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，，可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有个交点则须有求解．
试题解析：（1）因为，
所以，因此
（2）由（1）知，
，
．
当时，，
当时，，
所以的单调增区间是，
的单调减区间是
（3）由（2）知，内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，
所以的极大值为，极小值为，
当时，
所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，
因此，的取值范围为
考点：（1）函数在某点取得极值的条件；（2）利用导数研究函数的单调性.
x
3
0
单调递减
极小值
单调递增
x
0
1
2
＋
0
－
0
＋
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数