2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版）

这是一份2023年湖南省普通高中学业水平合格性考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知i为虚数单位，则， 垂直于同一平面的两条直线， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量90分钟.满分100分.
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意各题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.
一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的定义求解，
【详解】由题意得，
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题否定判断，
【详解】由题意得“，”的否定是，，
故选：B
3. 某中学高二年级从甲、乙两个红色教育基地和丙、丁两个劳动实践基地中选择一个进行研学，则选择红色教育基地的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】任选一个基地研学，共有4种选择，则红色教育基地有2种选择，所以选择红色教育基地的概率是，
故选：D
4. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数解析式有意义列式求解，
【详解】由题意得，即定义域是
故选：B
5. 已知i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的四则运算求解，
【详解】由题意得，
故选：B
6. 垂直于同一平面的两条直线（ ）
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面
【答案】A
【解析】
【分析】根据线面垂直的性质，直接选择即可.
【详解】若两直线垂直于同一个平面，则两直线平行.
故选：A.
7. 如图，在正方体中，异面直线AC与所成的角为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由异面直线所成角的概念求解，
【详解】由题意，正方体中得，故异面直线AC与所成的角，即正方形对角线与的夹角，
故选：D
8. 设角的终边与单位圆的交点坐标为，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的定义求解，
【详解】由题意得，
故选：C
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.
【详解】对于A，取特殊值，，，满足条件，但不满足结论，故A错误；
对于B，由，若，则，故B错误；
对于C，由同向不等式的性质知，，可推出，故C正确；
对于D，取，满足条件，但，故D错误.
故选：C.
10. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的性质判断，
【详解】由正弦函数与余弦函数的性质可知，为奇函数，
，偶函数，故A，B错误，
的最小正周期为，的最小正周期为，故C错误，D正确，
故选：D
11. 设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，
所以p是q的充分不必要条件.
故选：A.
12. 已知，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得的最大值，进而求解即可.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
所以的最大值为2.
故选：D.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理可得：.
故选：C.
14. 在中，D为BC的中点，设，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算求解，
【详解】由题意得，
故，
故选：B
15. 函数在一个周期内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正切函数的图象与性质判断，
【详解】由正切函数的图象与性质可知在上单调递增，图象为A，
故选：A
16. 某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（ ）
A. 162cmB. 164cmC. 166cmD. 168cm
【答案】C
【解析】
【分析】由分层抽样与平均数的概念求解，
【详解】由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人，
故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是166cm
故选：C
17. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数与对数函数的性质判断，
【详解】由幂函数的性质得，由对数函数性质得，
即，
故选：D
18. 为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象特殊点代入解析式求解，
【详解】当时，，代入解析式得，得，
令，解得，即，，
故选；C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
19. 已知函数（，且）的图象过点，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】根据指数函数经过的点即可求解.
【详解】将代入得，
故答案为：2
20. 已知向量，，则______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算以及模长公式即可求解.
【详解】由，可得,所以,
故答案为：5
21. 为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是______分钟.

【答案】45
【解析】
【分析】由频率分布直方图数据求解，
【详解】由图可知人数最多的组别在组，
故众数的估计值为45，
故答案为：45
22. 中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美、和谐美，如图所示的太极图.定义：若函数的图象是一条连续不断的曲线，且该曲线同时平分圆的周长和面积，则称函数为该圆的“完美函数”.写出圆心在坐标原点的圆的一个“完美函数”______.

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意可得一定为奇函数，且图象是一条连续不断的曲线，进而写出符合题意的答案即可.
【详解】由题意，“完美函数”能平分圆的周长和面积，且图象是一条连续不断的曲线，
所以圆心在坐标原点时，“完美函数”一定为奇函数，
则符合题意的一个“完美函数”为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23. 如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.

（1）求证：平面ABC；
（2）若，，求圆锥PO的体积.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证，
（2）由圆锥的体积公式即可求解.
【小问1详解】
由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以,
由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC
【小问2详解】
AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，
所以,又，所以,
因此底面圆的半径为,
故圆锥PO的体积为，
24. 自2018年国家实施乡村振兴战略以来，农村电商行业蓬勃发展，规模不断扩大.农村电商畅通了农产品进城渠道，加速推进了农业数字化.图1为我国2018年至2022年农村电商行业农产品网络零售额的变化情况，图2为A市2022年农产品网络零售量占比扇形图.

（1）请根据图1简要描述我国2018年至2022年农产品网络零售额的变化趋势；
（2）从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率；
（3）已知某农产品带货主播每天零售额超过1万元的概率为0.6，假定每天的销售情况互不影响，求该主播任意两天中至少有一天零售额超过1万元的概率.
【答案】（1）2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由统计图描述变化趋势，
（2）由古典概型与互斥事件的概念求解，
（3）由对立事件的概念与独立事件的乘法公式求解
【小问1详解】
由图可知2018年至2022年农产品网络零售额逐渐增大
【小问2详解】
由题意得扇形图中茶叶的占比为,
故从A市2022年网络零售农产品中随机抽取一件，估计抽取的产品是粮油或茶叶的概率为
【小问3详解】
记任意两天中至少有一天零售额超过1万元为事件，
则为两天零售额都没有超过1万元，
25. 已知函数，.
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数的最大值；
（3）求证：方程有唯一实根，且.
【答案】（1）单调递增区间，无单调递减区间；
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由对数函数的性质直接可判断单调性；
（2）化简，由三角函数的性质即可得出答案；
（3）设，通过分类讨论研究函数值值域和单调性，证明，则有，再通过构造函数放缩法证得结论.
【小问1详解】
函数，定义域为，
由对数函数的性质可知，在上单调递增，
所以单调递增区间为，无单调递减区间；
【小问2详解】
因为，
又因为，当时，；
【小问3详解】
令，
①当时，，，
则当时，，没有零点；
②当时，有，则，，
，没有零点；
③当时，有，
由
在上单调递增，
，，
所以存在唯一实数，使得，
因为上单调递增，所以，
因为，所以，
因为，即,
所以，
因为，所以，所以，
令，由在单调递减，
得，即，
所以，
又因，所以，
即，
综上所述：方程有唯一实根，且.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用单调性和零点存在性定理可证零点唯一性；二是利用不等式转化结合三角函数单调性得证不等式.