黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题（每题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求函数定义域化简集合 A，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】由 ，得 ，解得 ，即 ，由 ，得
，
所以 .
故选：C
2. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】正向推导可得 ，则 ，而反向推导 ，根据充分不必要条件的判定
即可得到答案.
【详解】 ，若 ，则 ，
，则前者可以推出后者，
，若 ，则 ，则后者无法推出前者，
故前者是后者的充分不必要条件，
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故选：A.
3. 已知复数 是虚数单位 则（ ）
A. 复平面内 z 对应的点在第二象限 B.
C. z 的虚部是 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数 与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到 ，由 的系数得到虚部
的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解.
【详解】 对应的点为 ，在第四象限，故 A 错误；
，故 B 正确；
z 的虚部是 ，故 CD 错误.
故选：B.
4. 已知对任意的 ，都有 ，则一次函数 的解析式为（
）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法，设 ，根据题意运算求解即可.
【详解】设 ，
则 ，
因为 ，即 ，
则 ，解得 ，所以 .
故选：C.
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5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为 1cm，杯内的底部半径为 3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的
水面直径为 12cm，且杯子的容积为 ，则该杯子的高度为（ ）
A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm
【答案】B
【解析】
【分析】应用圆台的体积公式列方程求水的高度，进而可得杯子的高度.
【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为 cm，则杯子的容积为
，可得 ，
所以该杯子的高度为 cm.
故选：B
6. 已知平面向量 ， 满足 ， ，且 在 上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出 ，结合 在 上的投影向量为 ，解出
和 ，从而解出 与 的夹角.
【详解】由 ，得 ①，
由 ，得 ②，
由②-①，得 ，
由 ，得 ，所以 ，则 ，
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设 与 的夹角为 ，则 ，因为 ，所以 .
故选：A.
7. 若 外接圆的半径为 ，且 ，则
（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得 ，在 中，由余弦定理求 ，从而得解.
【详解】根据正弦定理， ，即 ，
又 ，则 ，
又 ，
所以 ，则 ，
根据同角基本关系式， ，
则 ，
根据正弦定理，即 ，
在 中，由余弦定理 ,
所以 ，所以 .
故选：A
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8. 函数 若 有两个零点 的零点为
则关于 的不等式不能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的零点即为 与 交点的横坐标， 的零点即为 与
交点的横坐标，画出图象，数形结合可得答案.
【详解】令 得
则 的零点即为 与 交点的横坐标，
令 得
则 的零点即为 与 交点的横坐标，
画出 的图象，
由图可知：从上到下的三条直线分别说明 ， ， 成立，
可得选项 D、B、C 可能成立，
故选：A
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
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对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 已知直线 和圆 ，则（ ）
A. 直线 l 恒过定点（2，0）
B. 存在 k 使得直线 l 与直线 垂直
C. 直线 l 与圆 O 相交
D. 若 ，直线 l 被圆 O 截得的弦长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A 选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B 选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而
存在 满足题意，C 选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断 C 选项；当 时，先求圆心到直
线的距离，再根据垂径定理求弦长
【详解】直线 ，即 ，则直线恒过定点 ，故 A 错误；
当 时，直线 与直线 垂直，故 B 正确：
∵定点（-2，0）在圆 O：x2+y2=9 内部，∴直线 l 与圆 O 相交，故 C 正确：
当 时，直线 l 化为 ，即 x+y+2=0，圆心 O 到直线的距离 ，直线 l 被圆 O
截得的弦长为 ，故 D 正确，
故选：BCD.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 已知某个家庭先后生了两个小孩，当两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为
B. 马路上有依次编号为 1，2，3，…，10 的 10 盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的 3 盏灯关掉，
但不能同时关掉相邻的两盏，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有 20 种
C. 已知随机变量 ，且 ，则 的最小值为 3
D. 对具有线性相关关系的变量 x，y 有一组观测数据 ， ， ，其经验回
归方程 ，则在样本点 处的残差为 0.5
【答案】BCD
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【解析】
【分析】根据条件概率的概念，可判断 A；利用“插空法”可判断 B；根据正态分布曲线的对称性以及基本
不等式可判断 C；根据回归直线必过样本点中心求出 ，进而得到回归直线方程，再求残差即可判断 D.
【详解】对于 A，家庭有两个小孩的样本空间为：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），
已知两个小孩中有女孩的条件下，样本空间为：（男，女），（女，男），（女，女），
所以两个小孩中有男孩的概率为 ，而不是 ，故 A 错误；
对于 B，问题相当于在 7 盏亮的路灯间插入 3 盏不亮的灯，7 盏灯之间有 6 个空，
所以满足条件的不同的关灯方法有 种，故 B 正确；
对于 C，因为随机变量 ，且 ，
所以 ， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 C 正确；
对于 D，因为 ， ，其经验回归方程 ，
所以 ，即 ，故 ，
取 ，得 ，
所以样本点 处的残差为 ，故 D 正确.
故选：BCD.
11. 如图，过抛物线 E： 的焦点作两条直线 ， ， 与 E 相交于 C，D 两点， 与 E 相交于 A，B，
则下列说法中正确的是（ ）
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A. 若点 ，则 周长的最小值为
B. 的最小值为
C. 若 ，则四边形 ABCD 面积的最小值为 32
D. 若 BC 过定点 ，则 AD 过定点
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于选项 A，需要利用抛物线的定义将三角形周长转化为两点间距离来求最小值；选项 B 通过设
直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理结合焦半径公式来求最小值；选项 C 根据两直线垂直，设出直
线方程，求出弦长，进而得到四边形面积表达式求最小值；选项 D 通过设直线方程，联立抛物线方程，利
用韦达定理和已知条件求出定点.
【详解】选项 A：对于抛物线 ，其焦点 ，准线方程为 .
根据抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离.
设点 到准线 的垂足为 ，则 的周长为 .
要使周长最小，当 ， ， 三点共线时， 最小，其最小值为 .
又 .
所以 周长的最小值为 ，选项 A 正确.
选项 B; ， ，直线 的方程为 （ ）.
联立 ，消去 得 ，即 .
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根据韦达定理， .
由抛物线的定义， ， .
又 ， ，所以 .
根据均值不等式 ， .
当且仅当 且 时取等号，所以 的最小值为 ，选项 B 正确.
选项 C：当 时，设 的斜率为 ，则 的斜率为 .
的方程为 ， 的方程为 .
设 ， ， ， .
联立 ，消去 得 ，即 .
则 ，
同理，联立 可得 .
所以四边形 ABCD 的面积 .
根据均值不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号.
所以 ，四边形 ABCD 面积的最小值为 32，选项 C 正确.
选项 D：证明 AD 过定点
设直线 BC 的方程为 ，代入 得 .
设 ， ，则 ， .
设直线 AD 的方程为 ，代入 得 .
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设 ， ，则 ， .
因为 ， ， ， 四点共线，所以 .
即 .
化简可得 ，所以直线 AD 过定点 ，选项 D 错误.
故选：ABC.
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分．）
12. 二项式 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 0，求得 r 的值，即可求得展开式中的常数项．
【详解】解： 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
∴ 展开式的常数项为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
13. 如图将一个矩形划分为如下的 A、B、C、D、E、F 六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行
染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种
颜色都要使用到，则一共有__________种不同的染色方案.
【答案】192
【解析】
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【分析】法一：间隔元素分析法，分 同色， 同色； 同色， 不同色； 不同色，
同色； 不同色， 不同色，结合 和 的颜色相同和不同，分类讨论，得到情况数，相
加即可；
法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到 影响的元素最多，分 各不同色， 和 同色，
结合 同色，不同色， 同色， 不同色，共有类讨论，分类讨论，得到情况数，相加即可
【详解】法一：间隔元素分析法：
① 同色， 同色，则 有两种上色方式， 被 确定，故有 种；
② 同色， 不同色，则 仅有 1 中上色方式， 被 确定，故有 种；
③ 不同色， 同色，则若 与 同色，则 有 1 种上色方式；
若 与 不同色，则 只有 1 种上色方式；
故有 种；
④ 不同色， 不同色，
1） 同色，则有 种；2） 不同色，则有 种.
综上，共有 种方式.
法二：相邻最多元素优先分析法：
考虑到 影响的元素最多：
① 各不同色，1） 同色，则 有 3 种染色法，故共有 种；
2） 不同色，则 有 2 种染色法，故共有： 种；
② 同色，1） 同色，则 只有 1 种染色法（4 种颜色都要使用到），
故有 种；2） 不同色，则 有 2 种染色法，故有 种.
综上：共有 种染色方案.
故答案为：192.
14. 如图所示，将绘有函数 部分图像的纸片沿 x 轴折成钝二面
角，夹角为 ，此时 A，B 之间的距离为 ，则 __________．
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【答案】
【解析】
【分析】过 分别作 轴、 轴的垂线相交于点 ，利用余弦定理求 ，然后由勾股定理求出 ，根
据图象过点 即可得解.
【详解】过 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ，过 分别作 轴、 轴的垂线相交于点 ，
连接 ，则 ，
由余弦定理得 ，
由上可知， 轴垂直于 ，又 平面 ，
所以 轴垂直于平面 ，又 轴，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 的周期 ，所以 ，
由勾股定理得 ，解得 ，
由图知， 的图象过点 ，且在递减区间内，
所以 ，即 ，
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因为 ，点 在递减区间内，所以 .
故答案为：
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 据统计，某地一特色饭店 年 月份共有 个网上点餐订单，好评率为 .为了提高服务质量，
饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店 月份共有 个网上点餐订单，其中好评订单有 个.
（1）根据所给数据填写下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析能否认为该饭店
月份订单的好评与服务改进有关；
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计
（2）若从 月、 月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽
取 个订单分析顾客的意见，再从这 个订单中随机抽取 个订单进行电话访谈，求其中恰好有 个订单
为好评订单的概率.
附： .
【答案】（1）答案见解析，有关
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（2）
【解析】
【分析】（1）由条件计算出 月的好评订单个数及非好评订单个数，完成列联表，提出零假设，计算 ，
根据 与临界值大小关系判断结论；
（2）根据分层抽样性质确定抽取的订单中好评订单的个数，利用古典概型概率公式求结论.
【小问 1 详解】
月份的订单中，好评订单有 个，
非好评订单有 个.
月份的订单中，非好评订单有 个.
故补全的 列联表如下表所示：
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计
零假设 ：该饭店 月份订单的好评与服务改进无关.
，
所以根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即该饭店 9 月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过 .
【小问 2 详解】
利用分层随机抽样的方法抽取 个订单，则好评订单应抽取 个，
非好评订单应抽取 个.
设“从这 个订单中随机抽取 个订单进行电话访谈，其中恰好有 个订单为好评订单”为事件 ，
则 .
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所以事件恰好有 个订单为好评订单 概率为 .
16. 如图，在正三棱柱 中，侧棱与底面边长均为 2，点 分别为 的中点，点 满
足 .
（1）求证： 四点共面；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，过 作 于 ，连接 ， ，依次证明 ， ，
即可证明 ， ， ， 四点共面，最后由 即可得证；
（2）由已知得 ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问 1 详解】
取 中点 ，过 作 于 ，连接 ， ，
则 ， ， ，
所以四边形 是平行四边形， ，
由 得 ， ，
又 ， ， ，所以 ， ， ， 四点共面，
又 ，所以 ， ， ， 四点共面；
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【小问 2 详解】
由已知得 ，如图，以 为原点， 为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ，
， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则由 ，得 ，
令 得 ， ，
又 ， ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
17. 已知首项为 1 的等差数列 满足： 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求数列 前 项和 .
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（2）令 ，得 ，两式相减得
，又 ，即得
【小问 1 详解】
设 公差为 d，又 成等比数列，
所以 ，
又 ，即 ，解得 或 ，
而 时，不满足 成等比数列，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
令 ，
所以 ，
两式相减有： ，
所以数列 的前 项和为 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 .
18. 已知线段 ，动点 与点 、 的斜率之积为 ，点 在线段 上，且 ，过
作两条互相垂直的直线和动点 的轨迹 分别交于点 、 和点 、 ．
（1）建立适当坐标系，求动点 的轨迹 的方程，
（2）求四边形 面积的最小值．
【答案】（1）图见解析，
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（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到动点 的轨迹的方程；
（2）设其中一条直线 的方程为 ，可得 ，另一条直线 的方程为
，可得 ，故 ，通过换元结合均值不等式可得结
果.
【小问 1 详解】
以 中点为原点， 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，
建立平面直角坐标系如图所示，
则 ， ，设 ，
由 得， ，
化简整理，得 ，即 ．
【小问 2 详解】
由题意 的斜率存在且不为 0，设为 在线段 上，
，则 ，设 , ,
由 ，消元，得 ，
， ，
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，
同理可得： ，
，
令 ，
，
， ，当且仅当 ，即 时等号成立．
四边形 面积的最小值为 ．
19. 已知函数 （其中 ）.
（1）当 时，求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围；
（3）设 ，且函数 有极大值点 ，求证： .
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将 代入函数解析式，利用导数求函数图象在 处的切线方程；
（2）对 和 分类讨论，即可得到 的取值范围；
（3）通过构造函数求最值的方法证明不等式.
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【小问 1 详解】
当 时，有 ，故 ，而 ，故 .
从而函数 的图象在 处的切点坐标为 ，切线斜率为 .
则切线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
①若 ，则有 ，不满足条件；
②若 ，设 ，
则对 时有 ，对 时有 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 ，
故对任意 都有 ，满
足条件.
综合①②两方面，可知 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减.
由 ， ，得 ，
假设 ，则对 或 均有 ，所以 在
和 上单调递增.
从而 在 上单调递增，不可能有极大值点，矛盾.
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所以 ，此时 .
从而根据 的符号可知 在 和 上单调递增，在
上单调递减.
所以 极大值点 ，同时 ，即 ，
从而
.
所以
.
【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为
不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的
单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论
和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
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