黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第二学期期中考试

高一数学试卷

考试时间:120分钟  分值：150分

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 设，其中为实数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数相等可得答案.

【详解】，

解得.

故选：D.

2. 平面向量与相互垂直，已知，，且与向量(1，0)的夹角是钝角，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先设出向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示及模的运算，向量夹角的定义求解即可．

【详解】设

①，

，②，

与向量(1，0)夹角为钝角，，③，

由①②③解得，，

故选：D．

3. 在△ABC中，，则此三角形中的最大角的大小为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理可得出，设，则，，然后根据余弦定理求出即可得出答案.

【详解】由正弦定理可得，，

设，则，，所以最大.

由余弦定理可得，.

因为，所以.

故选：C.

4. 下列不能化简为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的加减法以及运算性质，可得答案.

【详解】对于A，，故A不符合题意；

对于B，，故B不符合题意；

对于C，，故C不符合题意；

对于D，，故D符合题意.

故选：D.

5. 已知向量，，且，则向量的夹角是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】，，

，又，.

故选：D.

6. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为

A.  B.  C. 12 D.

【答案】A

【解析】

【分析】由线面垂直的判定定理可得BC面，得到直线与侧面所成的角为，然后由题目条件可得AB,BC的长度，从而可得侧面积.

【详解】底面，则，，,可得BC面，所以直线与侧面所成的角为，又，则该三棱柱的侧面积为2，

故选A

【点睛】

本题考查线面垂直判定定理的应用和线面角的求法，属于基础题.

7. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，

V正方体−8V三棱锥＝.

考点：组合几何体的面积、体积问题

8. 如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于, 下面结论成立的是（   ）

A. 平面 B. 平面

C. 平面 D. 平面

【答案】A

【解析】

【分析】根据折叠前后垂直关系不变可推出A正确，B错误，再由与不垂直判断C，反证法可判断D.

【详解】在折叠过程中，始终有，，

即，又，平面，

平面，所以A正确，B错误；

，是的中点，，故与不垂直，故C错误；

若平面，则，又平面，则，显然矛盾，故D错误.

故选：A.

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分）

9. 已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 存在，使得

C.  D. 当时，在上的投影向量的坐标为

【答案】CD

【解析】

【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.

【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；

对于B，若，则，

即，方程无解，

所以不存在，使得，故B错误；

对于C，，所以，故C正确；

对于D，当时，，，

则在上的投影向量的坐标为，故D正确.

故选：CD.

10. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ）

A. 的实部为1 B.

C. 的共轭复数为 D. 的虚部为

【答案】BD

【解析】

【分析】由复数除法法则化简复数为代数形式，然后判断各选项．

【详解】因为，所以的实部为，故A是假命题；，故B是真命题；的共轭复数为，故C是假命题；的虚部为，故D是真命题．

故选：BD．

11. 下列命题正确的是（     ）

A. 平行于同一个平面的两直线平行

B. 两条平行直线被两个平行平面所截得的线段相等

C. 一个平面内的两条相交直线与另一平面平行，这两平面平行

D. 一条直线与两平行平面中一平面平行，则与另一平面也平行

【答案】BC

【解析】

【分析】以长方体为例，举例即可判断A、C、D；根据面面平行的性质定理，可证得线线平行，进而通过证明平行四边形，即可得出B项.

【详解】

对于A项，如图1，长方体中，

平面，平面，

但是，故A项错误；

对于B项，如图2，已知两个平面，，两条直线，

且直线，，，.

因为，所以可构成平面，设为，

则由图可知，，，

根据面面平行的性质定理可知，.

又因为，

所以，四边形为平行四边形，

所以，故B项正确；

对于C项，根据面面平行的判定定理可知，C项正确；

对于D项，如图1，长方体中，

平面，平面平面，

但是平面，故D项错误.

故选：BC

12. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A. 若，则

B. 若，则为等腰三角形

C. 若，，，则符合条件的有两个

D. 若，则是锐角三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角函数的单调性可判断A选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B选项，利用正弦定理可判断C选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D选项.

【详解】对于A：由，则当时，，当时，由可知，所以，故A选项正确；

对于B：由，，，得：或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B选项错误；

对于C：由，，，根据正弦定理得：，，且，所以满足条件的三角形有两个，C选项正确；

对于D：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，D选项错误.

故选：AC.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13. 如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．

【答案】

【解析】

【分析】将直观图还原可得，原图形为平行四边形，根据斜二测画法的法则，结合勾股定理，可得出平行四边形各边长，即可得出答案.

【详解】由已知可得，，

则将直观图还原为原图形如下图

原图形为平行四边形，其中，，，

所以，，

所以，的周长为.

故答案为：.

14. 若圆锥侧面展开图的面积为且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为__________．

【答案】

【解析】

【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意，结合扇形的弧长公式和面积公式可得，且，解得，再利用圆锥的体积计算公式即可．

【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，

由题意知，且，解得，

∴圆锥的高

∴此圆锥的体积．

故答案为：．

15. 一艘船在处看到一个灯塔在北偏东方向，向东行驶后，船到达处，看到灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为________．

【答案】

【解析】

【分析】结合图形，利用正弦定理求解即可.

详解】如图，根据题意可知，，，

在中，由正弦定理得，

即，解得.

故答案为：.

16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当________时，平面.

【答案】

【解析】

【分析】连接AC交BD于O，根据线面平行的性质定理可得，进而即得.

【详解】如图，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以点O是AC的中点．   

因为平面，且平面平面，又平面，

所以，

所以点E是SA的中点，即SE∶SA＝1∶2.

故答案为：.

四、解答题（共6小题，共70分）

17. 向量，若三点共线，则求实数.

【答案】或

【解析】

【分析】先根据向量减法的运算法则求出，，再利用向量共线的性质列方程求解即可.

【详解】因为，

所以

因为三点共线，

所以与共线，

∴

∴或

【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及向量共线的性质，属于中档题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算．

18. 已知，.

（1）若，求；

（2）若与垂直，求当为何值时，?

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】(1)根据向量模长公式即可求出结果；

(2)根据与垂直可以求出，根据即可求出的值.

小问1详解】

，

，

所以；

【小问2详解】

因为与垂直，

所以，即，

解得，

当时，，

即，

解得，

所以当时，.

19. 如图，已知在长方体中，，，点是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）连接，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得结果.

【详解】（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，

又因为为的中点，则，

平面，平面，因此，平面；

（2）因为，，且为的中点，

所以，，

在长方体中，平面，

因此，.

【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：

（1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

20. 已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，且

（1）求角C

（2）若，，D为BC的中点，，求△ABC的面积

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解；

（2）根据余弦定理可求CD值，进而可求a，根据三角形面积公式即可求解．

【小问1详解】

由题可得，

由余弦定理得，

因为，

所以；

【小问2详解】

在三角形ADC中，，

即，

解得或，

即或，

因为，所以由正弦定理可得，故，

因为，

所以，故，

所以，

所以．

21. 在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知，解答下面问题.

（1）若，求的面积；

（2）求的取值范围.

条件①；条件②.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据条件求出角B，再运用正弦定理和余弦定理求出c，用面积公式计算即可；

（2）运用正弦定理，再做恒等变换，根据三角函数的性质求解.

【小问1详解】

选条件①，，，又，

，而，故；

选条件②，，，

即，，又，故，

在中，当，，时，

由余弦定理得：，

即，（负值舍去），

所以；

【小问2详解】

由题设及（1）可知：，，

故由正弦定理得：，

，，故（当且仅当时等号成立），

即；

综上，的面积为，的取值范围是.

22. 如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．

（1）当点M在何位置时，平面?

（2）若平面，求与所成的角的余弦值．

【答案】（1）点为的中点   

（2）

【解析】

【分析】（1）分别取的中点为，连接．可推得四边形为平行四边形，．进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行；

（2）由（1）知，与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.然后构造直角三角形，可推得，，，进而得出，在中，即可得出答案.

【小问1详解】

如图1所示，分别取的中点为，连接．

因为分别是的中点，

所以，且.

又因为，

所以，所以.

又，所以.

所以四边形为平行四边形，

所以．

因为平面，平面，

所以平面.

所以，当点为的中点时，有平面.

【小问2详解】

由（1）知，点为的中点，且与异面.

因为，

所以与所成的角（或其补角），即等于与所成的角.

由已知可得，，，

所以.

如图2，取中点为，连接，易知，

则，，

所以，，

所以.

因为是的中点，所以，

所以，，

所以，在中，有，

所以与所成的角的余弦值为．