2025年中考数学二轮复习专题训练：辅助圆

这是一份2025年中考数学二轮复习专题训练：辅助圆，共8页。试卷主要包含了定点定长辅助圆，四点共圆辅助圆等内容，欢迎下载使用。
例1.我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：
（1）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 ．
（2）如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝2，则线段CP的最小值是 ．
（3）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？
变式1．已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，求PM的最小值.
变式2．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，求点M运动的路径长.
变式3．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，求PA+PG的最小值.
变式4．如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，求∠CBD．
变式5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，点D在AC边上运动，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C′，在点D从点C到点A的动过程中，q求点C′运动的路径长．
类型二：定弦定角辅助圆
例2．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，求线段CP的最小值．
变式1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA＝90°，则线段CP长的最小值为 ．
变式2．如图，Rt△ABC中，AC＝2，∠CAB＝30°，点D和点B分别在线段AC的异侧，且∠ADC＝30°，连BD，求BD的最大值．
变式4．[问题提出]我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
[初步思考]
（1）如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB＝100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B＝ °，∠AP2B＝ °；
（2）如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB＝m°（m＜180°），点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数为 ；（用m的代数式表示）
[问题解决]
（3）如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB＝135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；
[实际应用]
（4）如图4，在边长为6的等边三角形ABC中，点E、F分别是边AC、BC上的动点，连接AF、BE，交于点P，若始终保持AE＝CF，当点E从点A运动到点C时，点P运动的路径长是 ．
类型三、四点共圆辅助圆
例3．（1）[学习心得]
小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝ °．
（2）[问题解决]
如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△BCD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A，B，C，D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．
（3）[问题拓展]
如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD是BC边上的高，且BD＝6，CD＝2，求AD的长．
变式1．如图，在△ABC中，∠ABD＝∠ACD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．
求证：△ABC是等腰三角形．
变式2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．
求证：（1）∠CFD＝∠CAD；
（2）EG＜EF．
变式3．已知，如图1，在平面直角坐标系中，△AOC为等边三角形，AD＝AO，连接OD交AC于N，连接CD．
（1）求∠ODC的度数；
（2）证明：∠CAD＝2∠COD；
（3）如图2，CA的延长线交y轴于P点，连接PD，延长OA交PD于K，连接KN，PK＝7，求NK的值．
变式4．如图，△AOB是等边三角形，以直线OA为x轴建立平面直角坐标系，若B（a，b）且a、b满足+（b﹣5）2＝0，D为y轴上一动点，以AD为边作等边△ADC，CB交y轴于E．
（1）如图1，求A点坐标；
（2）如图2，D为y轴正半轴上一点，C在第二象限，CE的延长线交x轴于M，当D点在y轴正半轴上运动时，M点坐标是否变化，若不变，求M点的坐标，若变化，说明理由；
（3）如图3，D在y轴负半轴上，以DA为边向右构造等边△DAC，CB交y轴于E点，如果D点在y轴负半轴上运动时，仍保持△DAC为等边三角形，连BE，试求CE，OD，AE三者的数量关系，并证明你的结论．