河南省安阳市滑县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份河南省安阳市滑县2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版），共34页。
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中，比1小的数是（ ）
A. B. 1C. D. 3
2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图相同B. 主视图和俯视图相同
C. 俯视图和左视图相同D. 三种视图均相同
3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 计算结果是（ ）
A B. C. D.
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
7. 如图，沿边向右平移得到，若，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 6
8. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是，个位上的数字是：___________．
12. 关于的不等式组的整数解的和是___________．
13. 年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有名，若该地区共有初中学生名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有___________名．
14. 某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的，再沿弦折叠，折叠后恰好经过圆心，连接并延长交于点，则图中阴影部分的面积为___________．
15. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，，连接．
（1）当点落在上时，的长为______；
（2）的最小值是______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．语言交互能力得分（满分10分）
A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10
B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10
b．数据分析能力得分（满分10分）
c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”）
（2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由；
（3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）在中，若两直角边边长的比值是2，求出一次函数的表达式．
19. 开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元．
（1）分别求出桶子鸡和酱牛肉单价；
（2）若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用．
20. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长为米，已知，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯的高度．
21. 如图，在矩形中，连接对角线．
（1）根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
①圆心在边上；
②与边相切；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明．
22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图，是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，米．（脚的长度忽略不计）
（1）求该同学起跳轨迹的函数表达式；
（2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由；
（3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号）
23. 探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P、Q分别在边、上，连接、，若，则线段和的数量关系是___________，线段和的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形中，点是边上一个动点，连接，作的垂直平分线分别交、于点E、F，过点P作交于点，猜想线段、、的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
2025年河南省普通高中招生考试试卷（一）
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中，比1小的数是（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的取值范围，再比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选A．
2. 中国茶文化博大精深，茶杯也颇有讲究．如图是汝窑冰花圆融杯，杯型厚重沉稳，有“大肚能容天下事”的寓意，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图和左视图相同B. 主视图和俯视图相同
C. 俯视图和左视图相同D. 三种视图均相同
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查三视图．熟练掌握三视图是解题的关键．
根据立体图形得到其三视图，进而问题可求解．
【详解】解：由图可知：该茶杯的主视图和左视图相同．
故A选项符合题意．
故选：A．
3. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：100亿，
故选：C．
4. 如图，将一个直角三角板的直角顶点放置在直尺的一条边上，直角三角板的两直角边分别与直尺的边相交，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质．根据平行线的性质和直角三角形的性质进行判断即可
【详解】解：
，故选项正确；
由题意得：，故选项正确；
与的度数与直角三角板摆放位置有关，选项C不一定正确，
故选C．
5. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式即可解答，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：，
故选：B．
6. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A. 1B. -1C. 4D. -4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，先把方程化为一般式得到，再利用根的判别式解关于的方程即可．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】解：由题意，可知，则0，解得，
故选：B．
7. 如图，沿边向右平移得到，若，则的长为（ ）
A. B. 3C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，根据平行线分线段成比例解答即可．
【详解】解：，
．
沿边向右平移得到，
．
，即．
解得．
故选B．
8. 如图是第九届亚洲冬季运动会正六边形纪念币的背面图案，小明将该图案做成转盘（转盘质地均匀），正六边形被分为六个全等的区域，每个区域上的图案不同，固定指针，转动转盘两次，任其自由停止（指针指向分界线时，不计，重转），则指针两次指向的图案相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了利用列表法或画树状图求概率，熟练掌握概率的意义和计算公式，利用列表法或画树状图求概率，是解决本题的关键．
利用列表法表示所有可能出现的结果情况，其中指针两次指向的图案相同的结果，进而求出概率．
【详解】解：记六个区域的图案分别为1，2，3，4，5，6，根据题意，列表如下：
由表格，可知共有36种等可能的结果，其中指针两次指向的图案相同的结果有6种，
∴，
故选：B．
9. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤当时，随的增大而增大，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质；根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与x，y轴的交点可对①②④进行判断；根据图象过，结合对称轴则可对③进行判断；根据抛物线的性质则可对⑤进行判断．
【详解】解：观察图象，可知该图象开口向上，与轴交于正半轴，与轴有两个交点，
，故②正确；
图象过点，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①错误，④正确；
把代入中，得，
又，
，即，
，故③正确；
由图象，可得当1时，随的增大而减小，故⑤错误．
综上所述，可得①⑤错误，②③④正确．正确结论有3个，
故选B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，点，以为边作菱形，且，连接对角线，点是上一点，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，首先得到，求出，，然后得到，，然后利用三角函数求出，设，则，勾股定理求出，得到，，进而求解即可．
【详解】如图，作出点P，D，过点作交轴于点，过点作轴，垂足为，
四边形是菱形，
，，
∴，
，，
，
由旋转得，，
，即，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理，可得，
解得，
，，
∴点的坐标为，
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标与图形综合，旋转的性质，菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请用代数式表示一个两位数，其中十位上的数字是，个位上的数字是：___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了列代数式－多位数的表示法，用十位数字乘以10加上个位数字即可．
【详解】解：由题意，得这个两位数为．
故答案为：．
12. 关于的不等式组的整数解的和是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】解：解不等式组得：
不等式组的解集为，
不等式组的整数解有、，
，
故答案为：．
13. 年是乙巳蛇年，在十二地支中“巳”对应蛇，其古文“巳”是蛇的形象表达（如图）．在对某地区初中学生进行的一次关于传统文化知识的调查中，随机抽查了名学生，其中知道上述传统文化知识的学生有名，若该地区共有初中学生名，据此样本估计，该地区知道上述传统文化知识的初中学生大约有___________名．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数根据用样本估计总体，即可解答．
【详解】解： （名）．
故答案为：
14. 某数学兴趣小组的同学用圆形纸片进行折纸操作：如图，先作出一个半径为4的，再沿弦折叠，折叠后恰好经过圆心，连接并延长交于点，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的面积公式．由折叠可得，则是等边三角形，再根据计算即可．
【详解】解：如图，作于点，连接．
由折叠，可得，
是等边三角形．
，，，
，
，
，
，
．
15. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一个动点，连接，以为直角边在右侧作等腰直角三角形，，连接．
（1）当点落在上时，的长为______；
（2）的最小值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由矩形性质得，然后通过勾股定理得出，又，则可求出，然后再由勾股定理即可求出；
（）如图，在上截取，连接，四边形是矩形，则，故有为等腰直角三角形，则，从而有，，所以，根据性质得，即的度数恒定不变，点在射线上运动，因此当时最小，即最小，最后由相似三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：（）如图，当点在线段上时，可知，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（）如图，在上截取，作射线，
∵四边形是矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
由题意，得，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即的度数恒定不变，
∴点在射线上运动，
∴当时最小，即最小，如图，
∵，
∴，
∴
由（1）得：，
∴，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，绝对值，分式的化简，负整数指数幂，熟练计算是解题的关键．
（1）先计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，再加减即可；
（2）先计算括号里，再算除法即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式
．
17. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a．语言交互能力得分（满分10分）
A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10
B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10
b．数据分析能力得分（满分10分）
c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”）
（2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由；
（3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）．
【答案】（1）
（2）我认为小罗应该选择A，理由见解析
（3）还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面
【解析】
【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差．
（1）根据平均数的定义求出，根据众数的定义求出，根据中位数的定义求出，根据方差的定义比较和即可；
（2）根据统计量的意义判断，并说明理由即可；
（3）根据题意结合人工智能产品的特点回答即可．
【小问1详解】
解：A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为：，
∴；
B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多，
∴；
A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分，
∴；
从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分，
∴；
故答案为：7.7；6；7.5；；
【小问2详解】
解：我认为小罗应该选择A．
理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于B．（理由合理即可）
小问3详解】
解：还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面．（答案不唯一）
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时，不等式的解集；
（3）在中，若两直角边边长的比值是2，求出一次函数的表达式．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）利用数形结合即可求解；
（3）分两种情况讨论．首先用表示出一次函数的表达式为，①当时，②当时，利用待定系数法求解即可．
【小问1详解】
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：由题意得当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
∴不等式的解集为；
小问3详解】
解：如图所示，有两种情况．
∵点在一次函数的图象上，
∴，即，
∴一次函数的表达式为，
①当时，设，则，
∴点，点．
将点，代入中，
可得，
∴，
∴一次函数的表达式为；
②当时，设，则，
∴点，点．
将点，点代入中，
可得，
∴，
∴一次函数的表达式为．
综上所述，一次函数的表达式为或．
19. 开封作为八朝古都，有着深厚的历史文化，也吸引着无数的游客前往观光．开封特产桶子鸡、酱牛肉深受游客的喜爱．已知2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元．
（1）分别求出桶子鸡和酱牛肉的单价；
（2）若某公司决定购买桶子鸡和酱牛肉共200包作为员工福利，且购买桶子鸡的数量不超过酱牛肉的数量，则应该如何安排购买方案，才能使购买总费用最低，并求出最低费用．
【答案】（1）桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元；
（2）购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元，根据“2包桶子鸡和3包酱牛肉的价格为310元，3包桶子鸡和4包酱牛肉的价格为430元”列出二元一次方程，解方程即可；
（2）设购买桶子鸡包，则购买酱牛肉包，购买费用为元，根据题意得，再根据一次函数的性质求最值即可．
【小问1详解】
解：设桶子鸡的单价为元，酱牛肉的单价为元．
由题意，得，
解得，
答：桶子鸡的单价为50元，酱牛肉的单价为70元；
【小问2详解】
解：设购买桶子鸡包，则购买酱牛肉包，购买费用为元．
由题意，得，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
此时．
答：购买100包桶子鸡，100包酱牛肉时费用最低，最低费用是12000元．
20. 九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆，测得此时的影长为0.5米；在点处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到的位置时，标杆的影长最大，此时，测得影长为米，已知，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯的高度．
【答案】路灯的高度为3米．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明，求得，再利用解直角三角形列方程，即可解答，证明是解题的关键．
【详解】解：由题意，可知，
，
．
，
，即．
设，则，
中，，
，
．
，
即，解得．
（米），即路灯的高度为3米．
21. 如图，在矩形中，连接对角线．
（1）根据下列要求作出．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
①圆心在边上；
②与边相切；
（2）在（1）的条件下，连接交于点，若，猜想线段和的数量关系，并证明．
【答案】（1）见解析；
（2），见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图（作角平分线），矩形的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）作的平分线，交于点，以为圆心，为半径作圆即可；
（2）连接．交于点，证明得，再证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求作．
；
【小问2详解】
解：．
证明：如图，连接．
由（1），可知．
．
又
．
．
．
又，
，
．
22. 为了贯彻落实国家“把课间还给学生”的政策，某校积极开展丰富多样的课间活动，“台阶跳”是同学们喜欢的一种课间锻炼方式．如图，是一段台阶的示意图，其中每阶台阶的高度为0.15米，宽度为0.3米．一位同学站在0处，面对台阶起跳，起跳的轨迹可以近似看成一条抛物线，通过测量可知该同学在跳出0.5米后达到最高点，此时距离地面的高度也为0.5米，以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，米．（脚的长度忽略不计）
（1）求该同学起跳轨迹的函数表达式；
（2）该同学能否跳到第一阶台阶上，请说明理由；
（3）若该同学想跳到第二阶台阶上，且起跳轨迹不变，则该同学至少应该向前移动多少米？（结果保留根号）
【答案】（1）；
（2）该同学能跳到第一阶台阶上，理由见解析；
（3）米．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设顶点式，再把代入进行计算，即可作答．
（2）理解题意，把和代入进行计算，即可作答．
（3）理解题意，当时，代入，解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）．作图且运用数形结合思想得移动距离，至少平移的距离为（米），即可作答．
【小问1详解】
解：由题意，得抛物线的顶点坐标为，
设函数表达式为．
把代入，得，
解得，
该同学起跳轨迹的函数表达式为；
【小问2详解】
解：该同学能跳到第一阶台阶上．理由如下：
当时，，
当时，．
该同学可以跳到第一阶台阶上．
【小问3详解】
解：由题意，令，即第二阶台阶的高为0.3米，
当时，代入，
可得，
解得（较大的的值即为的长，另一个值已舍去）．
如图1，
移动距离（米），
至少平移的距离为（米）．
该同学至少应该向前移动米．
23. 探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P、Q分别在边、上，连接、，若，则线段和的数量关系是___________，线段和的数量关系是___________；
类比延伸：
（2）如图2，在正方形中，点是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交、于点E、F，过点P作交于点，猜想线段、、的数量关系，并证明；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1），；（2），见解析；（3）①4；②．
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等可得，然后根据证明即可得，；
（2）方法一：易得，根据平行线分线段成比例定理可得，则，再根据证明，则可得，进而可得．
方法二：过点作，易证四边形是矩形，则可得，根据证明，则可得，进而可得．
（3）①由函数图象，得当时，．设正方形的边长为，则，．易得，则，求出a的值即可．
②过点作于点，根据可得，则可得，．设，则，，，．由可得．求出的值，再根据勾股定理求出的长，即可得的长．
【详解】解：（1）如图，设与的交点为O．
∵四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，．
故答案为：，；
（2）．
证法一：如解图1，设交于点，连接交于点．
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
．
证法二：如解图2，过点作，
则，
又∵，,
，
∴四边形是矩形，
∴，
又，
，
，
，
又，
，
∴，
∴；
（3）①如解图3，由函数图象，得当时，，
设正方形的边长为，则，，
，
，
，
，
，
，即，
解得，即正方形的边长为4．
②如解图4，过点作于点，
则，，
，
又，
，
，
，，
设，则，，
，
．
由(2)得，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，函数图象的分析．正确的作出辅助线，并且能综合运用以上知识是解题的关键．
统计量产品
语言交互能力得分
数据分析能力得分
平均数
中位数
众数
平均数
中位数
方差
A
8
8
70
B
7.7
7.5
6.9
7
1
2
3
4
5
6
1
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统计量产品
语言交互能力得分
数据分析能力得分
平均数
中位数
众数
平均数
中位数
方差
A
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B
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7.5
6.9
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