湖北省孝感市孝南区2025届九年级上学期期中学业水平监测数学试卷(含答案)

这是一份湖北省孝感市孝南区2025届九年级上学期期中学业水平监测数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1.下列方程是关于的一元二次方程的是
A.B.C.D.
2.下面的图案是中国移动、中国联通、中国电信以及华为公司的lg，其中图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A.B.C.D.
3.一元二次方程化为一般形式后，一次项系数为
A.3B.-4C.4D.
4.用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是
A.B.C.D.
5.某超市九月份的营业额为36万元，十一月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为，则可列方程为
A.B.C.D.
6.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为
A.无解B.，C.D.，
7.如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动.若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数关系图象大致是
A.B.C.D.
8.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论不正确的是
A.B.C.D.
9.将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为
A.B.
C.D.
10.如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论正确是
A.
B.
C.
D.若点，均在该抛物线上，则
二、填空题（每题3分，共计15分）
11.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则常数的值是_____.（写出一个即可）
12.已知点与点关于原点对称，则的值是_____.
13.关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为_____.
14.如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车_____完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.

图1 图2
15.如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当_____时，的长最小，此时的面积为_____.
三、解答题（本大题共9小题，共75分）
16.（6分）用合适的方法解下列方程：
（1）；（2）；
17.（6分）如图，在菱形中，，点在对角线上，将线段绕点顺时针旋转角，得到，连接、.求证：.
18.（6分）改善小区环境，争创文明家园.如图所示，某社区决定在一块长（），宽（）的矩形场地上修建三条同样宽的小路，其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草.要使草坪部分的总面积为，则小路的宽应为多少？
19.（8分）已知抛物线.
（1）用配方法将化成的形式；（2分）
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3分）
（3）分别求出抛物线与轴、轴的交点坐标.（3分）
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，有一直角，且，，，已知是由旋转变换得到的.
（1）请写出旋转中心的坐标是_____，旋转角为_____°；（2分）
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出顺时针旋转、的三角形；（3分）
（3）设直角两直角边，，斜边，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理.（3分）
21.（8分）已知关于的一元二次方程有两个实数根，.
（1）求实数的取值范围；（3分）
（2）若，求的值.（5分）
22.（10分）我市首衡城是华中地区最大的农副产品集散地和批发市场.某品牌水果经销商计划在2024年中秋节期间开展“阳光玫瑰”葡萄的促销活动.经过调查统计发现，在首衡城批发“阳光玫瑰”葡萄的最低价格为每斤10元，若按每斤20元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤.若每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售.
（1）若降价4元，则每天的销售利润是_____元；（2分）
（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰”葡萄每天盈利630元，那么每斤“阳光玫瑰”葡萄的售价应降价多少元？（其它成本忽略不计）（4分）
（3）当售价降价多少元时，该水果商每天销售“阳光玫瑰”葡萄获得的利润最大？最大利润是多少元？（4分）
23.（11分）【问题背景】如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点为的中点.

图1 图2
（1）【观察猜想】观察图1，试猜想线段与的数量关系为_____，位置关系为_____；（4分）
（2）【拓展探究】把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由；（5分）
（3）【问题解决】把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出线段长的取值范围.（2分）
24.（12分）如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接.

图1 图2
（1）求抛物线的解析式；（2分）
（2）当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为.
①若，求的值；（3分）
②若为等腰直角三角形，求的值；（4分）
（3）如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标.（3分）
2024-2025学年度九年级上学期期中数学试题参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
DBBAA DCCBD
二、填空题（每题3分，共计15分）
11. 0（在范围内取值均可） 12. 2 13.-1 14. 能 15. 2；（第1空2分，第2空1分）
三、解答题
16.解：（1），，，
，
，
，；
（2），
，，
，
17.证明：四边形为菱形，
，，
由旋转性质知：，，
，
在和中，
18.解：设小路的宽应为米，根据题意得：
，
解得：，.
，
不符合题意，舍去，
.
答：小路的宽应为1米.
19.解：（1）
，
（2）由（1）知：，
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.（写对一项给1分）
（3）令，则，解得，，
抛物线与轴的交点坐标为：，，
令，则，
抛物线与轴的交点坐标为：.（写对一个坐标给1分）
20.解：（1），
（2）画出图形如图所示.
（3）由旋转的过程可知，四边形和四边形是正方形.
，
.
.
即.
21.解：（1）由题方程有两个实数根，
，
，
（2），，
，
即
，，
，
22.解：（1）600元；
（2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价元，
根据题意得：
整理得：，
解得，，
为了尽快减少库存，
，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降3元；
（3）设水果商每天获得的利润为元，
根据题意得：，
，
当时，，
答：当每斤降价2元时，水果商每天销售该葡萄获得的利润最大，最大利润是640元.
23.解：（1），.（每空2分）
【提示：延长至，使，连接，交于点.
，，，
，
，，
，，，，
，
，，
，，，
，】
（2）结论成立.
理由：如图2中，延长到，使得，连接.延长交于.
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
.
图2
（3）线段的取值范围为：
【提示：，都是等腰三角形，，，
，
由（2）可知，，
，，
，】
24.解：（1）抛物线过和两点，
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）令，则，
，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
直线的解析式为；
①点的横坐标为，
，则，，
，，
，
，
解得（舍）或；
②当时，由为等腰直角三角形得：
，
，
解得或（舍）；
当时，由为等腰直角三角形得：
，
，
解得或（舍）；
或3.
（3）
【提示：过作交于，为等腰直角三角形，由全等求得，再求出直线，从而求出点的坐标】