吉林省长春市东北师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

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1. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 长度相等的向量叫相等向量
C. 零向量的长度是0D. 共线向量一定是在同一条直线上的向量
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，
故未必成立，所以A错误；
B：长度相等的向量方向不一定相同，故B错误；
C：根据零向量的定义可判断C正确；
D：共线向量不一定在同一条直线上，也可在相互平行的直线上，故D错误.
故选：C.
2. 要得到函数图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案.
【详解】对于BD，因为，
因此将函数的图象向右平移个单位，
即可得到函数的图象，故B错误，D正确；
对于A，的图象向左平移个单位长度，
可得，故A错误；
对于C，的图象向左平移个单位长度，
可得，故C错误.
故选：D．
3. 设两点把线段三等分（靠近），则下列向量表达式中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量共线定理判断各选项即可.
【详解】因为方向相同，且，所以，A正确，
因为方向相同，且，所以，B正确，
因为方向相反，且，所以，C正确，
因为方向相反，且，所以，D错误，
故选：D.
4. 函数（其中，，）的图象如图，则此函数表达式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可以得到振幅，再计算出周期和初相位后可得函数的解析式.
【详解】由图象知，，则，
图中的点应对应正弦曲线中的点，
所以，因为，故，
故函数表达式为.
故选：B.
【点睛】本题考查正弦型函数解析式的求法，此类问题，一般是“两看一算”，两看指看振幅与周期，算指利用图象的最高点或最低点或对称中心计算初相位，本题属于基础题.
5. 电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可.
【详解】函数，当时，.
故选：A
6. 已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量计算公式即可得到答案.
【详解】在上的投影向量为.
故选：A.
7. 如图，在中，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的线性运算把用表示出来后可得结论．
【详解】
，
所以，，
故选：D
8. 已知函数在区间上单调递减，且，将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据其对称性和周期性得，再根据拉伸得，最后求出其单调区间，根据集合包含关系即可得到答案.
【详解】∵，∴.
又，.
∴是函数的一条对称轴.
同理得是函数的一个对称中心，
∵，
所以和是同一周期内相邻的对称中心和对称轴，得.
∴，，所以.
∴，令，，
解得，，
它在上单调递增，
故.
所以的最大值为.
故选：B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在中，，，分别是边，，的中点，点为的重心，则下述结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由向量的线性运算结合三角形的重心的性质求解即可．
【详解】如图：
对于选项A，因为，分别是边，的中点，则，即选项A错误；
对于选项B，因为为中点，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
10. 已知与均为单位向量，其夹角为，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先计算，，再分别计算和时对应夹角的取值范围，即可判断四个选项的正误.
【详解】依题意，，.
，等价于，即，即，
即，而，故，即A正确，B错误；
，等价于，即，即，
即，而，故，即C正确，D错误.
故选：AC.
11. （多选题）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据平移得到，最大值为3，最小值为，由，可知，，根据，求出可能的取值，即可计算的值.
【详解】由的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得，，
所以
由可知，，
由，即
所以，即，
由可得，
所以，
，
，
，
，
也可有，
故选：AD
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换，合理应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算，即可求解的坐标，得到答案.
【详解】根据平面向量的坐标运算，可得.
故答案为：.
13. ___________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正切的差角公式进行求解.
【详解】
故答案为：
14. 已知的外接圆为单位圆，且圆心为，，，点是线段上一动点，则的最小值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意分析可知：O为的中点，，，建系，根据向量的坐标运算可得，结合二次函数分析求解.
【详解】因为，可知O为的中点，
又因为O为的外接圆圆心，则，
且，，则，则，
可知为等边三角形，即，
如图，建立平面直角坐标系，
则，设，
可得，
则，
可知当时，取到最小值.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据中线性质分析可知O为的中点，结合圆的性质可知，.
四、解答题：本题共3小题，共47分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，.
(1)若，求；
(2)若的夹角为，求；
(3)若与垂直，当为何值时，？
【答案】(1).(2).(3).
【解析】
【分析】(1)由，可得同向或反向，数量积可求.
(2)利用求模.
(3)向量垂直即数量积为，则答案易求.
【详解】(1)由，可得同向或反向，
所以.
(2)
所以
所以.
(3)若与垂直，所以.
所以
要使，只需，
即，
即，解得.
所以当时，.
【点睛】本题考查平面向量的数量积、模，向量垂直的数量积表示，是一道基础题，利用关系式，，即可求解.
16. 已知.
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，求；
（3）若对于任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算；
（2）由可得，从而可得值，由，从而可得结果.
（3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，结合函数单调性即可得到的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得：
可得函数的最小正周期.
【小问2详解】
因为，，.
所以，又因为，
所以，所以，
所以
【小问3详解】
由（1）知，函数，
可得，
因对于任意，恒成立，
即对于任意均有恒成立，
即对于任意均有恒成立，
又因为，
因为，可得，
又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减，
可得，则，
所以的取值范围为.
17. 设与是两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与叉积的模，记作，已知在锐角中，.
（1）求的大小及；
（2）已知，，且直线交于点.
①若为钝角，求取值范围；
②若，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据向量叉积的模的定义求出，再利用余弦定理求出；
（2）①先根据向量关系用表示，再由为钝角得到且与不共线，进而求出的取值范围；②根据，，共线得到，的关系，再利用基本不等式求出mn的最大值.
【小问1详解】
已知，则.因为是锐角三角形，所以.
根据余弦定理，可得：
，所以.
【小问2详解】
①因为，
则，
又，则，
则
因为为钝角，所以且与不反向共线.
得，
化简得，
由于，
代入前面计算得，，解得
当与反向共线时，设，即，解得由于，此时不成立.
综上所得，.
②由于 ，则，即，则.
又，变形得.
根据根据，，三点共线，得到，并且根据题意得，
则，两边平方得，解得，
则的最大值为，当且仅当时取得.