山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附答案）

这是一份山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检测数学试卷（Word版附答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
2．设曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．1B．C．D．
3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数 的部分图象如图所示，为 的导函数，则（ ）
A．B．
C．D．
5．当是函数的极值点，则的值为
A．-2B．3C．-2或3D．-3或2
6．已知函数在区间单调递增，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
7．设，，，则，，大小关系是
A．B．C．D．
8．若函数和的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，则函数和为“对偶函数”．已知，是“对偶函数”，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．函数在处取得最小值B．在区间上单调递增
C．是函数的极小值点D．在处切线的斜率大于零
10．设函数，则（ ）
A．是的极大值点
B．当时，
C．当时，
D．曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为
11．已知函数，对定义域内任意，都有，则正实数的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
三、填空题
12．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为 .
13．若函数，则使得成立的的取值范围是 .
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
16．已知函数在处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)证明：时，.
17．将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)试把这个正六棱柱铁皮盒的容积表示为盒底边长的函数；
(2)多大时，盒子的容积最大？并求出最大值.
18．已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明: 在 上均恰有一个零点.
19．已知
(1)设，求的极值．
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
(3)若存在常数，使得对任意，恒成立，则称在上有上界，函数称为有上界函数．如是在上没有上界的函数，是在上没有上界的函数；都是在上有上界的函数．若，则是否在上有上界?若有，求出上界；若没有，给出证明．
山东师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月阶段检测检测
数学试题参考答案
1．A
【详解】由题，，故.
故选：A.
2．C
【详解】切线的斜率为，
由，
故选：C
3．A
【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为.
故选：A
4．D
【详解】由导数的几何意义可知，表示曲线在处的切线斜率，
表示曲线在处的切线斜率，
表示，两点连线的斜率，
由图可知，当从0变化到1时，切线斜率越来越大，
所以，对比选项可知，D正确.
故选：D.
5．B
【详解】由，
得，
∵x＝1是函数f（x）的极值点，
∴（1）＝6﹣+a＝0，解得或2，
当2时，恒成立，即单增，无极值点，舍去；
当3时，时，x＝1或x=9，
满足x＝1为函数f（x）的极值点，
∴．
故选B.
6．B
【详解】因为函数在区间单调递增，所以在区间上恒成立，即，
令，，则，所以在上单调递增，则，故，即的最大值为，
故选：B
7．A
【详解】考查函数，则，在上单调递增，
，（3），即，
，
故选：．
8．A
【详解】因为，是“对偶函数”，
所以函数与的图象上恰好有两对关于x轴对称的点，
所以，即有两个不相等的实数解，
则有两个不相等的实数解．
令，则，
所以当时，,当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，且，．
又，所以，a的取值范围为,
故选：A.
9．ABD
【详解】由图可知，
当时，，当时，，∴函数在处取得最小值，A选项正确；
当时，，∴在区间上单调递增，B选项正确；
当时，，当时，，∴在处没有极值，C选项错误；
当时，，∴在处切线的斜率大于零，C选项正确.
故选：ABD.
10．ACD
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
对于A，是的极大值点，A正确；
对于B，在上单调递减，，则，B错误；
对于C，当时，，，，C正确；
对于D，令，，函数是奇函数，
函数的图象关于原点对称，则函数的图象关于点对称，
若函数的图象还有一个对称中心，则
，而不为常数，
因此点不是函数图象的对称中心，即函数的图象有且只有一个对称中心，
则曲线有且只有一个对称中心，且该对称中心坐标为，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】因为，所以，
所以可化为，
即；令，
则有对于定义域内任意，都有，
所以在上单调递减，所以在上，；
因为，所以，即，
因为，所以，即；
令，，当时，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
可化为，，因为所以；
由，可知当时，，当时，，
根据在上的单调性以及的正负情况，
有：若，则在上恒成立，所以，
即在上恒成立；令，则，
，解得，所以当时，，单调递增，
当时，，单调递增减，
所以时，取得最大值，，所以；
因为，，均满足题意，不合题意，所以ACD正确，B错误.
故选：ACD.
12．/
【详解】由题设，则，
所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.
故答案为：
13．
【详解】由可得：函数定义域为，.
因为，当且仅当时等号成立,
所以，
则函数为上的增函数.
所以等价于，解得：.
故答案为：.
14．
【详解】解：当时，，所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数增长更快，
从而，
当时，，所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，
从而
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，
得或，由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．
故答案为：
15．(1)
(2)单调增区间为，，单调递减区间为.
【详解】（1），则，
则切线的斜率，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2），
则，
由，可得或；由，可得，
所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．
16．(1)1
(2)证明见解析
【详解】（1）已知函数，对其求导可得.
因为函数在处的切线方程为，将代入可得：.
由于切线方程为，其斜率为，所以，解得.
（2）当时，.
要证明时，，即证明，移项可得.
设，，对求导得.
因为的值域是，所以对于，有，即.
这说明在上单调递减.
那么，将代入可得.
所以，即时，.
17．(1)
(2)当米时，盒子的容积最大为立方米
【详解】（1）如图，，
则盒子的高，
所以盒子的底面积，
所以盒子的容积，

（2）由（1）可得，
所以，
令，解得（舍去），
所以当时，则单调递增，
当时，则单调递减，
所以当时取得极大值，即最大值，
所以当米时，盒子的容积最大为立方米.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）首先求函数的定义域和导数.
函数的定义域为.
对求导可得，，.
然后令，即，则，解得或.
接着分情况讨论：
当时，，当且仅当时取等号.所以在上单调递增.
当时，.
在区间和上，，所以在，上单调递增；
在区间上，，所以在上单调递减.
当时，.
在区间和上，，所以在，上单调递增；
在区间上，，所以在上单调递减.
综上所得，
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，；当时，，且，由（1）可知，
当时，在取得极大值，在上恰有一个零点.
当时，在上单调递增. 在上恰有一个零点.
当时，在取得极大值，且，
所以在上恰有一个零点.
综上所得，，在上均恰有一个零点.
19．(1)极小值，没有极大值
(2)
(3)没有，证明见解析
【详解】（1），
令，解得.
所以在上单调递减；
在上，单调递增；
所以函数有极小值，没有极大值．
（2）依题意，在上恒成立，
设，，
当时，单调递增，，不符合题意.
当时，，
令，解得，
即使，在上，单调递增；
在上，单调递减，不符合题意；
当时，单调递减，，符合题意；
综上：.
（3）没有上界，理由如下：
由（2）可知，在上恒成立，
令，则，
所以，
将上述式子相加得题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
B
B
A
A
ABD
ACD
题号
11









答案
ACD