山东师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份山东师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（ ）
A．2B．C．D．
3．平面向量与向量满足,且，,则向量与的夹角为
A．B．C．D．
4．已知，，且，，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，AC边上的中线，，则AC的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．向量在向量方向上的投影向量的模为（ ）
A．2B．C．D．
7．在200m高的山顶上，测得山下塔顶与塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）
A．mB．m
C．mD．m
8．在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若平面向量，，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则与同向的单位向量为
C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
D．若，则的最小值为
10．在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，的取值范围是
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
11．对于△，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与共线
D．过点的直线分别与、交于、两点，若，，则
三、填空题
12．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为 ．
13．在中，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是 ．
14．如图，在中，，，D，E分别是直线，上的点，，，且，则 ．若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知，是两个单位向量，其夹角为60°，，．
(1)求，；
(2)求与的夹角．
16．如图，在四边形中，已知，，，，．
(1)求BD的长；
(2)求CD的长．
17．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
(1)若，求的值；
(2)若，，求的最小值．
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求；
(2)若．求的取值范围．
19．是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上.
(1)若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
(2)若，由点对施以视角运算，，求的周长；
(3)若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
参考答案
1．D
【详解】∵为边上的中线，∴，
∵E为的中点，∴，
∴，
故选：D.
2．C
【详解】，，
，
又，且，，三点共线，，
即，
，.
故选：C.
3．C
【详解】，则
又
，解得
设向量与的夹角为，
则，即
解得
，
，
故选
4．C
【详解】设，由，得 ，
所以.
故选：C
5．B
【详解】因为，
所以，
又，，，
则，所以，即.
故选：.
6．B
【详解】由已知可得，，
向量在向量方向上的投影向量为，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为.
故选：.
7．C
【详解】依题意可得图象如图所示,从塔顶向山体引一条垂线,垂足为.
则,则，
,
塔高,
故选：C.
8．D
【详解】因为，则由正弦定理得，
又，
所以，
则，
又，，则
所以或，即或（舍去），
则，
所以，解得，则，
所以
，
所以的取值范围是．
故选：D．
9．BD
【详解】由，，
A选项：，
则，解得，则，，
所以不存在，使，即，不共线，A选项错误；
B选项：，则，解得，
即，，，
所以与同向的单位向量为，B选项正确；
C选项：时，，
又与的夹角为锐角，
则，解得，且，
即，C选项错误；
D选项：由，得，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，D选项正确；
故选：BD.
10．BD
【详解】中，内角所对的边分别为，
若，则，A选项错误；
当时，
，
当时等号成立，所以最小值为，B选项正确；
由正弦定理，，当有两个解时，
且，的取值范围是，C选项错误；
，，当为锐角三角形时，，
解得，则，，
，所以的取值范围是，D选项正确.
故选：BD.
11．BCD
【详解】A：为外心，则，仅当时才有，错误；
B：由，又，故，正确；
C：，即与垂直，又，所以与共线，正确；
D：，又三点共线，则，故，正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：综合应用外心、垂心、重心的性质，结合平面向量数量积的运算律、几何含义以及平面向量基本定理判断各选项正误.
12．/
【详解】因为，，，
由余弦定理可得，
所以，所以的面积为.
故答案为：.
13．
【详解】

因为，所以，因为，
所以，且三点共线，
则，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：
14．
【详解】∵，，∴，，
∵，
∴
，
解得，
∵，∴．
设，，
∴

，
∴当时，有最小值，为．
故答案为：；．
15．(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，是两个单位向量，其夹角为60°，
则，，,
又，
所以，
同理，
所以；
（2）由题得，，
设与的夹角为θ，
则，
因为θ∈[0,π]，所以，
则向量与的夹角为．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，设，
由余弦定理
，整理得
解得或（舍去），
线段的长等于8；
（2）解：因为，，所以，
所以，
在中由正弦定理，得
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
（2）因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
18．(1)
(2)
【详解】（1），，
，，
，，，
；
（2），，
由余弦定理得，，即，
，，
，当且仅当时等号成立，
又，，
的取值范围是.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
（2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.