黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（PDF版）

这是一份黑龙江省大庆实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试 数学试题（PDF版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
C C A C B A D B ABD BCD AD
一、单选题
1．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】化为标准方程为 ，易知该抛物线的准线方程为 .故选：C.
2．已知函数 （ ）的图象如图，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由 的图象可知， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， ， 时， ，
时， ，所以不等式 的解集为 .故选：C.
3．已知 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
试卷第 9 页，共 11 页
A．17 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】等比数列 设公比为 ，因为 ，所以 ，
所以 ，计算得 ，
所以 .
故选：A.
4 若直线 与曲线 相切于点 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意 ，则 ，
所以 ，解得 .故选：C.
5．若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
若函数 在 上不单调，即 ， ，可得 ，
试卷第 6 页，共 10 页
所以实数 的取值范围是 .故选：B
6．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影
子长为 4.5 尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．15.5 B．12.5 C．8.5 D．4
【答案】A
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节
气的日影子长依次成等差数列，
记该等差数列为 ，设其公差为 ，
因为冬至、立春、春分的日影子长的和是 37.5 尺，芒种的日影子长为 4.5 尺，
所以 ，即 ，即 ，则 ，
所以 ，因此 ，故选：A
7．已知数列 的前 项和为 ， ， ，且对于任意 ， ， 恒成立，则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等比数列
C． D．
【答案】D
【详解】因为对于任意 ， ，满足 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以，数列 不是等差数列，也不是等比数列，A 错 B 错；
当 时， ，
试卷第 9 页，共 11 页
所以， ，
所以， ，C 错；
，D 对.故选：D.
8．已知数列 满足 ， ，且 ， ，则 m 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为数列 满足 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
，
所以 ，所以 .故选：B.
二、多选题
9．设圆 ，直线 ，则下列结论正确的为（ ）
A． 的半径为 5 B． 恒过定点
C． 可能与 相切 D．当 时， 被 截得的弦长最短
【答案】ABD
【详解】对于 A， ，即 ，∴ 的半径为 5，故 A 正确；
试卷第 6 页，共 10 页
对于 B，当 时， ，所以 恒过定点 ，故 B 正确；
对于 C，因为 ，故点 在圆 C 的内部，所以 一定与圆 相交，故 C 不正确；
对于 D，圆心 ，设直线恒过定点 ，则当直线 与直线 相互垂直时， 被截得的弦长最短，故
，即 ，则 ，故 D 正确.故选：ABD.
10．设双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点 P 在双曲线 C 的右支上，且不与双曲
线 C 的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ， ，则双曲线 C 的两条渐近线的方程是
B．若点 P 的坐标为 ，则双曲线 C 的离心率大于 3
C．若 ，则 的面积等于
D．若双曲线 C 为等轴双曲线，且 ，则
【答案】BCD
【详解】对于 A：当 ， 时，双曲线的两条渐近线的方程是 ，故 A 错误；
对于 B：若点 ，则 ，故 B 正确；
对于 C：若 ，则有 ，根据双曲线的定义有 ，
所以有 ，
所以 的面积为 ，故 C 正确；
对于 D：若双曲线 C 为等轴双曲线，则 ，所以 ，因为 ， ，
，
在 中，由余弦定理有 ，故 D 正确.
试卷第 9 页，共 11 页
故选：BCD.
11．已知数列 满足 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．
C．数列 的前 40 项和为 840
D．若 ，则数列 的前 项和为
【答案】AD
【详解】对于 A，当 为奇数时， ， ，
两式相减得 ；
因为 ，又 ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，两式相加得 ，
所以 ，两式相减得 ，
由等差数列可知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，故 B 不正确；
对于 C，当 为偶数时， ， ，
两式相加得 .
所以
，故 C 错误；
试卷第 6 页，共 10 页
对于 D，因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 ，
由 B 选项可知 ，当 时， ，
所以 ，所以 ，
即 是一个以首项为 2，公差为 8 的等差数列，
前 n 项和为 ，故 D 正确；故选：AD.
三、填空题
12．已知函数 ，则 ．
【答案】2
【详解】因为 ，所以 .故答案为：2
13．（改）正方形 ，正方形 按如图方式放置，点 在直线
上，点 在 x 轴上．已知 点的坐标是 ，则点 的横坐标是 ．(用含 n 的式子表示)
【答案】
【详解】因为 点的坐标是 ，且四边形 为正方形，则点 的坐标为 ，
当 时，可得 ，即点 的坐标为 ，
试卷第 9 页，共 11 页
又因为四边形 为正方形，则点 的坐标为 ，同理可得：点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；依此类推：可得点 的横坐标为 .
14． 设函数 在 上存在导数 ，对于 ，有 ，且在 上，
恒有 .则不等式 的解集为 .
【答案】
【详解】令 ， ，则 ，所以 为奇函数，
又因为 时， ，所以 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，
,
所以 ，故 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ，
四、解答题
15．已知曲线 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求过点 且与曲线 相切的直线方程.
【详解】（1） ，当 时， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .
（2）设切点坐标为 ，由（1）知切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
试卷第 6 页，共 10 页
因为切线过点 ，所以 ，即 ，所以 或 ，
故过点 且与曲线 相切的直线有两条，其方程分别是 和 ，
即 和 .
16．在数列 中， .
(1)证明：数列 是等差数列.
(2)求 的通项公式.
(3)若 ，记数列 的前 项和 ，求 .
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以数列 是首项和公差均为 1 的等差数列；
（2）由（1）可得 ，则 ，
故 ；
（3）由（2）可得 ，
则
.
所以
试卷第 9 页，共 11 页
17．已知函数 （ 为常数）.
(1)求证：当 时，
(2)讨论函数 的单调性；
(3)不等式 在 上恒成立，求实数 的最小整数值.
【详解】(1)当 时， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以
（2）函数 的定义域为 ，导函数
当 时，因为 ，所以 在 上单调递增，
当 时，令 ，解得
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，
若 ，则 ，所以 在 上单调递减，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（3） 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，
因为 ，所以
试卷第 6 页，共 10 页
故实数 的最小整数值是 .
18．已知 为等差数列 的前 项和， ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前 项和，设
（i）求 的表达式；
（ii）若整数 满足 ，求 的最大值，并说明理由．
【详解】（1）设数列 的公差为 d，
依题意， ， 即 ，解得 ，
所以 的通项公式是 .
（2）（i）由（1）知 ，所以 ，
则 ，
，
所以 ，
（ⅱ）令 ，且 ，则 ，
可得
又因为 ， ， ，
若 ，所以 的最大值为 4.
试卷第 9 页，共 11 页
19．在平面直角坐标系中，对于曲线 上任意一点 ，总存在点 满足关系式 ：
，则曲线 变换为曲线 ，称 为平面直角坐标系的伸缩变换，记为 .
(1)已知曲线 ，求 经过伸缩变换 后所得曲线 的方程.
(2)已知 ，抛物线 经过伸缩变换 ，得到抛物线 ，设
.
（i）求数列 的通项公式；
（ii）过抛物线 的焦点且倾斜角为 的直线 与 相交于点 ，记 （ 为坐标原点）的面积为 ，
求数列 的前 项和 .
【详解】（1）由题意得 则 代入 的方程，得 ，所以 的方程为 .
（2）（i）设 上的点 经过伸缩变换 后得点 ，则 则 代入 的方程，
得 ，则 的方程为 ，则 .
因为 ，所以 .
又 ，所以当 时， .
又 符合上式，所以 .
（ii）由题可知， 的焦点为 的方程为 ，设 .
试卷第 6 页，共 10 页
联立方程组 整理得 ，则 ，
所以 .
.
由（i）知 ，所以 ，
则 ，①
则 ，②
①-②得 ，
则 ，
则
试卷第 9 页，共 11 页