山东省菏泽市东明县第一中学2024-2025学年高二下学期开学检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市东明县第一中学2024-2025学年高二下学期开学检测 数学试题（含解析），共17页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在题卡上，写在试卷上无效．
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设，分别是空间中的直线，的方向向量，，.记甲：，，不共面，乙：与异面，则（ ）
A. 甲是乙充分不必要条件B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】从充分性和必要性的角度，结合异面直线的定义，即可判断和选择.
【详解】对空间中的任意两条直线，
若，，不共面，显然不可能平行或相交，两直线异面，充分性成立；
若是异面直线，根据异面直线的定义，定有，，不共面，必要性成立；
故甲是乙的充要条件.
故选：C.
2. 设是由正数组成的等比数列，公比，且，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，设，，，
则A，B，C成等比数列，然后利用等比中项的性质可求得答案
【详解】设，，，
则A，B，C成等比数列，公比为，且,
由条件得，
所以，所以，所以.
故选：B
3. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A,B（不重合），且A,B在以点为圆心的圆上，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求点的坐标，以及中点坐标，结合圆的几何性质，列式求解.
【详解】联立，得；
联立，得；
不妨设，，
则线段的中点为，
由题意可知，，整理，
所以双曲线为等轴双曲线，离心率.
故选：B
4. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
5. 已知，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.
【详解】，
因为，所以，
解得.
故选：B.
6. 贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数的图象是可由，，，四点确定的贝塞尔曲线，其中，在的图象上，在点，处的切线分别过点，.若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设出函数表达式，结合函数值、切线斜率建立方程组，待定系数即可得解.
【详解】设，则，
由题意，解得，所以.
故选：C
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊点的函数值，以及利用导数研究函数的单调性，即可判断．
【详解】解：因为，所以，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，
当时，，故排除C，
，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；
故选：．
8. 已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 23
【答案】D
【解析】
【分析】先求得弦的中点的轨迹方程，则的几何意义为两点到直线的距离之和，即点到直线距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题设知，直线与轴的交点为，设弦的中点为，
连接，则，即，所以，
即，
所以点的轨迹方程为，
即的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
设直线为，则到的最小距离为，
过分别作直线的垂线，垂足分别为，
则四边形是直角梯形，且是的中点，
则是直角梯形的中位线，所以，即
，
即，
所以的最小值为.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A. 直线的方向向量，平面的法向量是，则；
B. 若非零向量满足，则有；
C. 若是空间的一组基底，且，则四点共面；
D. 若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底；
【答案】CD
【解析】
【分析】利用空间向量基底的概念与向量和向量间的位置关系逐项判断即可．
【详解】对于A：因为，所以，又因为为直线的方向向量，为平面的法向量，所以，故A错误；
对于B：若非零向量满足，则和的关系不确定，故B错误；
对于C：若，，是空间的一组基底，且，则，即,可得A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D：因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，故D正确，
故选：CD．
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点B. 有三个零点
C. 点是曲线的对称中心D. 直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选：AC.
11. 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ）
A. 直线MN与所成角的大小为
B.
C. PN与平面ABC所成最大角的正切值为2
D. 点N到平面AMP距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求的值判断B.
【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则，
所以，，，，
则，显然直线MN与所成角不为，A错；
又，故，B对；
由面的一个法向量为，则，
所以时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为，则正切值为，C对；
由，，若为面AMP的一个法向量，
则，令，则，
又，则点N到平面AMP距离为，
令，则，故，D对.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分．
12. 正四面体的棱长为，点M为平面内的动点，且满足，则直线PM与直线AB的所成角的余弦值的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】结合正四面体的结构特征求出相关线段长，确定M轨迹，建立空间直角坐标系，设，从而表示出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意知正四面体的棱长为，
设P在底面上的射影为O，则O为正三角形的中心，
设D为的中点，连接，则O在上，，
且，
则，而，
故，故点M轨迹为平面内以O为圆心半径为1的圆，
以O为坐标原点，以为x轴，过点O作的垂线为y轴，为z轴，建立平面直角坐标系，
设，，
，
故，，
设直线PM与直线AB的所成角为，
则，
故答案为：
13. 已知圆：与圆：相交于、两点，则圆：的动点到直线距离的最大值为__________ .
【答案】
【解析】
【分析】借助数形结合思想，结合直线与圆的位置关系可得答案.
【详解】圆：与圆：的方程相减，
可得，即直线的方程为.
圆：的圆心为，半径，
点到直线距离，
则圆上的动点到直线距离的最大值为，
故答案为：.
14. 设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得在直线的下方，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式且，即可求解
【详解】设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得
故答案为：．
【点睛】本题考查由导数研究函数的极值点，构造函数法求解参数取值范围，数形结合思想，属于难题
四、解答题：本题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）已知函数,求解集；
（2）设曲线在点（0，e）处的切线与直线垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题可得，然后解不等式即得；
（2）根据复合函数的导数可得，然后根据导数的几何意义及直线的位置关系即得.
【详解】（1）由题可得 ，
由可得或，
又因为，
故不等式的解集为；
（2）由题可得 ，
依题意：，
所以.
16. 已知直线过椭圆的右焦点，且交于两点．
（1）求的离心率；
（2）设点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，结合题目所给信息以及，，之间的关系，可得椭圆的方程，再根据离心率公式即可求解；
（2）先得到直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
由题，，
且在上有，
解得．
故椭圆的标准方程为，
离心率．
【小问2详解】
因为直线经过，两点，
可得直线的方程为，
联立，
解得或，
所以直线与椭圆的另一交点为，
则，
又点到直线的距离．
故的面积．
17. 已知数列是等差数列，公差，Sn为前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为Tn，且，求Tn．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，从而求得.
（2）利用裂项求和法来求得.
【小问1详解】
∵，
∴，，，∴，，
若，则，与已知矛盾；
若，则，，，即，，符合题意.
∴.
【小问2详解】
由（1）知，，，
∴，
∴
.
18. 茶起源于中国，盛行于世界，是承载历史文化的中国名片．武夷山，素有茶叶种类王国之称，茶文化历史久远，茶产业生机勃勃．2021年3月22日下午，习近平总书记来到福建武夷山星村镇燕子窠生态茶园考察．总书记强调，过去茶产业是你们这里脱贫攻坚的支柱产业，今后要成为乡村振兴的支柱产业．3月25日，人民论坛网调研组一行循着习总书记此次来闽考察的足迹，走访了福建武夷山．调研组了解到某茶叶文化推广企业研发出一种茶文化的衍生产品，十分的畅销．据了解，该企业年固定成本为50万元，每生产百件产品需增加投入7万元．在2021年该企业年内生产的产品为x百件，并能全部销售完．据统计，每百件产品的销售收入为万元，且满足．
（1）写出该企业今年利润关于该产品年销售量x百件的函数关系式；
（2）今年产量为多少百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大？最大利润多少？
【答案】（1）；（2）当年产量为1百件，最大利润为25万元.
【解析】
【分析】（1）由题意得可得，代入化简，即可得答案.
（2）由（1）得，，利用导数求得的单调性及最值，分析整理，即可得答案.
【详解】解：（1）依题意得：
（2）由（1）得，，
则，
令，得或（舍去）
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有
答：当年产量为1百件时，该企业在这种茶文化衍生产品中获利最大且最大利润为25万元．
19. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求的图象在x=1处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值；
（3）若，满足，求证：．
【答案】（1）y＝（3e﹣3）x+2；（2）f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣∞，0），极小值f（0）＝6，无极大值；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程；
（2）根据导数与单调性的关系及极值存在条件即可求解；
（3）要证x1+x2＜0，等价于证明f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），结合函数f（x）在（0，+∞）上单调性即可证明．
【详解】（1）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），
∴f'（1）＝3（e﹣1），即在x＝1处的切线斜率为k＝3（e﹣1）．
又∵f（1）＝3e﹣1，
∴函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y﹣（3e﹣1）＝3（e﹣1）（x﹣1），
整理得y＝（3e﹣3）x+2．
（2）∵f'（x）＝3x2ex﹣3x2＝3x2（ex﹣1），
∴当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0．
则f（x）的增区间是（0，+∞），减区间是（﹣∞，0），
所以f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝6，无极大值．
（3）∵f（x1）＝f（x2）且x1≠x2，由（1）可知x1，x2异号．
不妨设x1＜0，x2＞0，则﹣x1＞0．
令g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝（3x2﹣6x+6）ex﹣（3x2+6x+6）e﹣x﹣2x3，
则g'（x）＝3x2ex+3x2e﹣x﹣6x2＝3x2（ex+e﹣x﹣2）≥0，
所以g（x）在R上是增函数．
又g（x1）＝f（x1）﹣f（﹣x1）＜g（0）＝0，
∴f（x2）＝f（x1）＜f（﹣x1），
又∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴x2＜﹣x1，即x1+x2＜0．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及单调性，极值关系的综合应用及利用导数证明不等式，属于中档题．