山东省东明县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省东明县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的导数公式可求得.
【详解】，因此，.
故选：D.
2. 如图，已知函数的图象在点处的切线为1，则（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】数形结合，求出切线斜率和切点坐标，即可计算.
【详解】由图象可得，切线过点和，切线斜率为，，
切线方程为，则切点坐标为，有，
所以.
故选：C.
3. 已知的一个极值点为2，则实数（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求导，令，利用只有一个极值点，可得，求解即可.
【详解】，令0，得或，
又的一个极值点为2，则，解得，经检验满足题意.
故选：B.
4. 函数的单调增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导数，利用导数大于0即可得到答案.
【详解】函数的定义域为，
，令，即，
解得：，所以增区间为.
故选：A
5. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为（ ）
A. 1B. eC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，列方程求解即可.
【详解】由可得，
令为函数在上的“拉格朗日中值点”，
则，
解得.
故选：C
6. 已知上可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据原函数单调性与导函数符号之间的关系，分类讨论，结合一元二次不等式的解法运算求解.
【详解】由的图像可得：
对于可得：
当时，则，
∴，解得；
当时，则，故，不合题意，舍去；
当时，则，
∴，解得；
当时，则，故，不合题意，舍去；
当时，则，
∴，解得；
综上所述：不等式的解集为.
故选：D.
7. 悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成外形如图，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用.当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲余弦函数．下列结论错误的是（ ）
A. 是偶函数
B. 值域为
C. 曲线上任意一点切线的斜率均大于0
D. 曲线上任意一点函数值的平方与该点切线斜率的平方之差均为1
【答案】C
【解析】
【分析】对于A：根据函数奇偶性的定义分析判断；对于B：求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得值域；对于C：取特值，结合导数的几何意义分析判断；对于D：根据原函数与导函数的解析式分析判断.
【详解】因为的定义域为，且，
所以是偶函数，故A正确；
由题意可知：，
因为与在上单调递增，可知在上单调递增，且，
令，可得；令，可得；
则在上单调递增，在上单调递减，
可得的最小值为，
当趋近于，趋近于，
所以值域为，故B正确；
因为，可知曲线在处切线的斜率为0，故C错误；
因为，
所以曲线上任意一点函数值的平方与该点切线斜率的平方之差均为1，故D正确；
故选：C.
8. 已知函数，若当时，恒成立，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得是函数在上的一个极小值点，则，从而可得，代入函数解析式，由恒成立分析可得在时恒成立，进而可得a的取值范围，可得a的最小值．
【详解】，
因为，所以是函数的一个零点，
，
因为当时，恒成立，且，
所以是函数在上的一个极小值点，
则，即，所以，
则，
因为当时，恒成立，恒成立，
所以在时恒成立，即在时恒成立，
令，，在上单调递减，
所以，所以，则a的最小值为
故选：B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ）

A. 有个极值点
B. 是的极大值点
C. 是极大值点
D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案.
【详解】根据函数的图象可知，
在区间，单调递增；
在区间，单调递减.
所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，
是的极小值点，
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
10. 设函数，则（ ）
A. 的极大值为0B. 在上单调递增
C. 当时，D. 的解集为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据导函数得出函数的单调性判断B，再根据极值计算判断A，根据函数单调性结合正弦值的范围判断C，根据函数单调性结合特殊值计算判断D.
【详解】因为函数，则，
所以当单调递减；当单调递增；当单调递增；
上单调递增,在上单调递减,B选项错误；
的极大值为，A选项正确；
当时，则，所以，又因为当单调递减；
所以，C选项正确；
因为函数，所以，
又因为当单调递增；当单调递减；
所以可得或，
解集为，D选项错误.
故选：AC
11. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 若是的极小值点，则在上单调递减
B. 若是的极大值点，则且
C. 若，且的极小值大于0，则的取值范围为
D. 若，且在上的值域为，则的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三次函数的图象性质，结合极值点的定义即可求解A，根据，即可结合极值点定义求解吧，根据即可得方程的一个零点为0，结合极值，即可分类求解C，利用导数，即可求解D.
【详解】,若是的极小值点,则，
故有两个不相等的实数根，因此函数既有极大值也有极小值，
故由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，
在上不单调，A错误.
，若是的极大值点，则，
所以.
若没有极值点.的解为.
因为是的极大值点，所以，即B正确.
若，则.
因为的极小值大于0，所以只有一个零点，且的极大值点与极小值点均大于0，
所以方程无实数根，且方程的2个实数根均大于0，
所以解得，C正确.
若，则.
令，若，即单调递增，符合题意.
由，解得或，
此时的2个解为.
当时，，所以在上单调递减，
即当，时，，不符合题意.
当时，，
所以在上的最大值为，且，不符合题意.
综上，若，且在上的值域为，则的取值范围为，D正确，
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 曲线在点处的切线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率.
【详解】由，求导得，则，
所以所求切线的斜率为2.
故答案为：2.
13. 函数是上的单调增函数，则a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】因为函数在上是递增函数，所以可利用导数恒大于或等于零来研究参数的取值范围.
【详解】由函数求导得：，
因为函数是上的单调增函数，
所以，即，
又由，则，解得，
故答案为：.
14. 已知，若仅有3个整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元二次不等式的方法，结合导数，利用分类讨论和数形结合思想进行求解即可.
【详解】，当时，单调递减，
当时，单调递增，因此，且，
如下图所示：
，
当时，，所以不等式的解集为：或，
因为，所以无整数解，因此，要想仅有3个整数解，
只需；
当时，，不等式化为：，显然成立，有无数多个整数解，不符合题意，
当时，，所以不等式的解集为：或，
显然有无数个整数解，
综上所述：，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用导数判断函数的单调性和最值，结合分类讨论和数形结合思想进行求解是解题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，若曲线在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）求函数的单调区间和极值；
（3）求函数在上最大值、最小值.
【答案】（1）
（2）答案见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可；
（2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值.
（3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可.
【小问1详解】
由题意可知：，则
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得.
【小问2详解】
因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为.
【小问3详解】
函数在，上单调递增，在上单调递减，
且，
函数在上的最大值,最小值.
16. 已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.
【小问1详解】
由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
【小问2详解】
由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
17. 已知为实数，函数（其中是自然对数的底数）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）对求导，得到，再分和两种情况，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，利用（1）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可求解.
【小问1详解】
易知，因为，所以，
当时，恒成立，此时在上单调递增，
当时，由，得到，
当时，，当时，，即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，时，在上单调递增，
时，的减区间为，增区间为.
【小问2详解】
因为当时，时，，
由（1）知，要使对任意的恒成立，则，且恒成立，
即恒成立，得到，
所以，
令，则，由，得到，
当时，，时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故的最小值为.
18. 设函数在区间D上的导函数为，且在D上存在导函数（其中）．定义：若区间D上恒成立，则称函数在区间D上为凸函数．
（1）若函数，判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
（2）若函数．
（ⅰ）若在上为“凸函数”，求a的取值范围；
（ⅱ）若，判断在区间上的零点个数．
【答案】（1）为凸函数，理由见解析
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用凸函数的定义即可判断，
（2）（ⅰ）利用凸函数的定义将问题转化为在上的恒成立问题，
（ⅱ）利用导数先求出函数的二阶导数，得到在区间上先增后减，再根据零点存在定理即可得到零点个数.
【小问1详解】
∴，，
∴，因为，∴，
∴在区间上为凸函数．
【小问2详解】
（ⅰ）由可得其定义域为R，且，
所以，
若在上为“凸函数”可得在恒成立，
当时，显然符合题意；
当时，需满足，可得，
综上可得a的取值范围为；
（ⅱ）若，可得，所以，
令，则；
易知在区间上恒成立，
因此可得在上单调递减；
显然，
根据零点存在定理可得存在使得，
当时，，即在上为单调递减，
当时，，即在上为单调递增；
又，显然在上不存在零点；
而，结合单调性可得在上存在一个零点；
综上可知，在区间上仅有1个零点．
19. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象在点处的切线方程为.
（i）求的最小值；
（ii）若关于x的方程有两个根，，证明：.
【答案】（1）答案见解析
（2）（i）1；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解；
（2）（i）利用导数的几何意义求得，进而利用隐零点，结合导数求得的最值，从而得解；（ii）根据题意，利用极值点偏移的解决技巧，将问题转化为证恒成立，构造函数，利用导数即可得解.
【小问1详解】
因为，则，
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
（i）函数的定义域为，
则，则，
因为函数的图象在的切线方程为，
所以，则，
所以，
因为，所以，令，则，
令，则，，
所以，使，即，则，
又，所以在上单调递增，
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为.
（ii）由题意可知，，
即方程有两个根，，
令，，则，所以，
设，由（1）知，在上单调递增，又，
所以，则，
由，得，，
所以，
要证，需证，即证，
令，则，
令，则，
所以在上单调递增，则，即，
则在上单调递减，所以，
因此成立，故，得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3.若函数存在两个零点且，令，求证：；
4.若函数中存在且满足，令，求证：.x
0
0
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增