山东省东营市利津县高级中学2024-2025学年高二下学期3月收心考试数学试题（含解析）

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1. 设集合，，若，则（ ）
A. 2B. 1C. D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】由得.易知且不符合题意，则，解之即可求解.
【详解】由，得.
若，则，不符合题意；
又，所以，解得.
故选：A
2. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线焦距可得与，进而可得渐近线方程.
【详解】由已知双曲线的焦距，即，
所以，解得，
即双曲线方程为，
则其渐近线方程为，
故选：B.
3. 与向量同向的单位向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设单位向量为，结合模长公式求得即可.
【详解】设所求的单位向量为，解得，则，
故所求的单位向量为.
故选：A
4. 已知坐标原点不在圆的内部，则的取值可能为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程表示圆得，根据原点不在圆内得，解得的取值范围，再逐项判断即可.
【详解】依题意，方程表示圆，则，解得.
因为坐标原点不在圆的内部，所以.
综上所述，，结合选项可知A符合题意.
故选：A
5. 若过点的直线与圆交于M，N两点，则弦长的最小值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由时，最小，即可求解.
【详解】可化为，可得圆心，半径．
当时，最小，此时点到的距离，
所以的最小值为.
故选：C
6. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，根据得到，由得到.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
7. 已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的方程和直线方程可得圆心坐标，以及直线所过定点，然后结合图形可得.
【详解】将圆C化为标准方程得，所以圆心为，
直线的方程为，所以直线过定点，
过点C作，垂足为Q，当CP不垂直l时，显然，当时，，
所以圆心C到直线l的最大距离为.
故选：D

8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解.
【详解】由题得，所以，
因为，所以，
则，所以即，
又，所以即.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A. 若，则是椭圆B. 若，则是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则是双曲线D. 若，则是两条平行于轴直线
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，举例判断，对于B，将代入结合椭圆的标准方程判断，对于C，由双曲线的标准方程分析判断，对于D，将代入化简变形判断.
【详解】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上椭圆，故B正确；
对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．
故选：BCD
10. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，过两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的方程为B. 线段的长度为
C. D. 线段的中点到轴的距离为
【答案】AC
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标得，即可判断A；联立方程求出坐标得，判断B；确定坐标计算，判断C；求出线段的中点坐标，即可判断D.
【详解】由题意，不妨设点A在B点上方，直线与x轴交点，
又经过的焦点，可得，即抛物线方程为，A正确．
由，可得，解得或，
可得交点分别为，所以或4，B错误．
由上，若，可知，
可得，则，即，C正确．
由上，线段的中点为，则线段的中点到轴的距离为，D错误.
故选：AC
11. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆与圆的公共弦方程为
B. 满足的点有2个
C. 若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为
D. 的最小值是
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，两圆的方程作差可得公共弦方程；对于B，可判断点的轨迹是圆，进而判断两圆的位置关系即可；对于C，根据圆的几何性质可知，圆的直径的最小值为圆心到直线AB的距离与圆的半径的差；对于D，设存在定点，使得，解得点的坐标，将转化为，进而可求最小值.
【详解】对于A，和两式作差，
可得，故A正确.
对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，
圆心的坐标为，两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，
由3，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确.
对于C，直线AB方程为，即，
圆心到直线AB的距离为，
所以圆的半径的最小值为，故C错误.
对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有．
设，则有，
化简得．因为，所以，
解得，则，所以，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若点和点关于直线对称，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求.
【详解】因为点和点关于直线对称，
所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得.
又AB的中点坐标为，，所以，解得，
.故.
故答案为：.
13. 已知圆上恰有三个点到直线的距离等于，则实数的一个取值为________.
【答案】或其中一个
【解析】
【分析】根据圆的几何性质以及点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】圆圆心为，半径，
由于圆上恰有三个点到直线的距离等于，
所以到直线的距离等于，
即，解得或.
故答案为：或其中一个
14. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出，结合双曲线定义得到方程，求出离心率.
【详解】设的半焦距为，如图，设为坐标原点，的中点为的右焦点为，连接，.

因为，所以也是的中点.设，
由双曲线的定义得，所以，
在中，由，得，所以，
在中，由，得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出，求解；（2）变用公式，整体求出；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出的关系；（4）构造的齐次式，解出.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知是的三个顶点．
（1）若直线经过的中点，且与直线平行，求的一般式方程；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得直线的斜率与的中点坐标，利用点斜式可求的方程；
（2）求得与直线的方程，利用点到直线的距离公式求得边上的高，可求的面积.
【小问1详解】
由题意，，
的中点坐标为，
所以的方程为，即的一般式方程为；
【小问2详解】
由题意，，
直线AB的方程为，即，
因为点到直线AB的距离为，
所以的面积为.
16. 在四棱柱中，四边形ABCD为菱形，为AC的中点.
（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的基本定理及数量积与模长关系计算即可；
（2）利用空间向量数量积的运算律结合（1）计算即可.
【小问1详解】
由题意可知：，
且，
则
；
【小问2详解】
易知，
所以
.
17. 已知数列为递增的等差数列，为和的等比中项．
（1）求数列通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）法1：设递增等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式；
法2：设递增等差数列的公差为，根据题意，得到，求得，即可求得数列的通项公式；
（2）由（1）知，设，结合错位相减法求和，即可求解.
【小问1详解】
法1：设递增等差数列的公差为，则，
因为为和的等比中项，可得，
即，可得，解得，
所以数列的通项公式为．
法2：设递增等差数列的公差为，则，
因为为和的等比中项，可得，
即，可得，
所以数列的通项公式为．
【小问2详解】
由（1）知，，可得，
设，
可得，
则，
可得，
两式相减可得，
所以，则．
18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点，
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论；
（2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.
【小问1详解】
取中点，连接，，
为的中点，，，
又，，，，
四边形平行四边形，，
平面，平面，
平面；
【小问2详解】
平面平面，平面平面平面，
平面，
取中点，连接，则平面，
，
，又，
如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，
，设平面的一个法向量，，
则，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 若将任意平面向量绕起点逆时针方向旋转角，得到向量，则称点绕点逆时针方向旋转角得到点.在平面直角坐标系中，已知曲线是椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆.
（1）求椭圆的方程.
（2）已知，是椭圆长轴上的两个顶点，，为椭圆上异于，的两点，且关于轴对称，若直线与直线交于点，证明：点在某定曲线上，并求出该曲线的方程.
（3）已知，不过点的动直线与椭圆交于，两点，直线与的斜率之积恒为，证明直线过定点，并求出这个定点的坐标.
【答案】（1）
（2）点在定曲线：，详见解析
（3）满足条件的直线，过定点，详见解析.
【解析】
【分析】（1）本小题可以考虑利用题目已知条件将原椭圆上的点的坐标转换成题目中椭圆，求出原椭圆方程，也可以利用已知条件原椭圆逆时针旋转了，则旋转后椭圆的对称轴为和，求出椭圆的长轴长和短轴长，并进一步得到椭圆的方程.
（2）可以利用和点的坐标作为参数写出直线方程，用参数表示点的坐标，利用点和点在椭圆上消去参数；
（3）设出直线的方程，与椭圆联立，利用题目给出的关系求出直线过的定点.
【详解】（1）解：（方法一）设为椭圆上任意一点，则即斜椭圆上一点，
则，
化简得，故椭圆的方程为．
（方法二）由得或
由得或
所以椭圆的长轴长为，得，
椭圆的短轴长为，得，
故椭圆的方程为
（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨令．设，则.
，由P，M，T三点共线，得；
，由Q，N，T三点共线，得
两式相乘可得
因为，所以，所以，
故点在某定曲线上，该定曲线的方程为
（3）解：当直线的斜率为0时，设直线的方程为，
则，且，即，
所以，不符合题意．
当直线的斜率不为0时，设直线的方程为.
由消去得，
则.
直线HA与HB的斜率分别为，
于是
，
整理得，解得或
当时，直线过点，不符合题意，因此.
综上，直线过定点．