重难点06 几何最值问题综合训练（5大题型+高分技法+限时提升练）-中考数学专练（全国通用）

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中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：
一、将军饮马类最值
二、动点辅助圆类最值
三、四点共圆类最值
四、瓜豆原理类最值
五、胡不归类最值
几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值
1．（2024·江苏苏州·一模）如图，已知抛物线y=−x2+px+q的对称轴为x=−3，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N−1,1，要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（ ）
A．0,2B．−43,0C．0,2或−43,0D．0,43或−2,0
2．（2023·山东枣庄·模拟预测）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．43B．23C．6D．3
3．（2021·青海·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为
4．（2023·广东广州·一模）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值等于 ．

5．（2022·四川眉山·一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE＋AP的最小值为 ；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝ 时，四边形APQE的周长最小．
考向二：动点辅助圆类最值
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=4．点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）
A．52B．125C．13−32D．13−2
2．（2022·广东梅州·一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5．连接BD，CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当∠DBA最大时，△ACE的面积为（ ）．
A．6B．62C．9D．92
3．（2022·山东济南·一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为（ ）
A．25−2B．25+2C．10−2D．10+2
4．（2023·安徽·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是矩形ABCD内部一动点，且∠BEC=90°，点P是AB边上一动点，连接PD、PE，则PD+PE的最小值为（ ）
A．8B．45C．10D．45−2
5．（2022·福建厦门·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x−3分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE=AF，过原点O作OH⊥EF，垂足为H，连接HA、HB，则△HAB面积的最大值为（ ）
A．6+52B．12C．6+32D．13+522
6．（2022·山东济南·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=4，点G是EF的中点，AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为 ．
7．（2025·陕西·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=60°，点E,F分别在边AB和AD上，且EF=4．当△AEF的面积最大时，△CEF的面积为 ．
考向三：四点共圆类最值
1．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则∠AEC+∠D=180°（依据1）
∵∠B=∠D
∴∠AEC+∠B=180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB=22，AD⋅AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
2．（2024·陕西宝鸡·二模）【问题提出】
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，点O是AB的中点，以点O为圆心，OA为半径向AB上方作半圆O，点P为半圆O上一点，连接CP，则线段CP的最小值为______；
【问题探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，AC=2，点P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，∠PAB=∠PCA，求线段BP长度的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD，其边长AB=1000米，现计划在小区内部（正方形ABCD内）修建一个游泳馆E，满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相等（即BE=BA），过点E作EG⊥AB于点G，在Rt△BEG的内心F处修建一个健身房，使得D栋楼的居民到健身房F的距离DF最小，请问DF是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，请说明理由．
考向四：瓜豆原理类最值
1.（2023·四川·中考模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 ．
2.（2023·山东·中考模拟）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是 ．
考向五：胡不归类最值
1．（2023·安徽黄山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=32x2−32x−3的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则12PB+PD的最小值为（ ）
A．334B．32C．3D．543
2．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．（2022·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+3的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点C(3,0)，若P是x轴上一动点，点D的坐标为(0,−1)，连接PD，则2PD+PC的最小值是（ ）
A．4B．2+22C．22D．32+232
4．（2022·四川成都·模拟预测）抛物线y=ax2+bx+3分别交x轴于点A1,0，B−3,0，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN⊥AC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；
(3)在M，N移动的过程中，DM＋12MC是否有最小值，如果有，请写出理由．
5．（2022·广东惠州·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为−1,0，抛物线的对称轴是直线x=32．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由；
(3)如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求24BQ+FQ的最小值．
（建议用时：35分钟）
1．（2022·四川南充·一模）如图，矩形ABCD中，BC＝12，点P是边AD上一动点（不与端点重合），点E与点A关于BP对称，线段DE最小为8，则AB的长为 ．
2.（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 ．
3．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 ．
4．（2022·湖南湘潭·模拟预测）如图，菱形草地ABCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC