重难点01 二次函数模型及其综合题综合训练（9大题型+高分技法+限时提升练）-中考数学专练（全国通用）

这是一份重难点01 二次函数模型及其综合题综合训练（9大题型+高分技法+限时提升练）-中考数学专练（全国通用），文件包含重难点01二次函数模型及其综合题综合训练9大题型+高分技法+限时提升练原卷版docx、重难点01二次函数模型及其综合题综合训练9大题型+高分技法+限时提升练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共122页， 欢迎下载使用。
中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：
一、二次函数与几何变换的综合
二、二次函数与直角三角形的综合
三、二次函数与等腰三角形的综合
四、二次函数与相似三角形的综合
五、二次函数与四边形的综合
六、二次函数与最值的综合
七、二次函数与新定义的综合
八、二次函数与圆的综合
九、二次函数与角的综合
因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！
。
考向一：二次函数与几何变换的综合
1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线C1：y=−x2−2x+k与抛物线C2关于原点对称，C1和C2的顶点分别是E．
(1)若k=3，直接写出抛物线C2的解析式： ；
(2)如图1，若k0，
∴当m=0时，AB最小=−2k；
（3）解：由x2−2x−k=−x2−2x+k得，
2x2=2k，
∴x=±k，
∴点G和点H关于原点对称，
∴OG=OH，
同理可得，
C1和C2的顶点关于原点对称，
∴OE=OF，
∴四边形GHFE是平行四边形，
当GH=EF时，
四边形GHFE是矩形，
∵OE=12EF，OG=12GH，
∴OE=OG，
∵y=−(x+1)2+(k+1)，
∴E(−1,k+1)，
∴OE=1+(k+1)2=k2+2k+2，
当x=−k时，y=−(k)2+2k+k=2k，
∴OG2=(k)2+(2k)2=5k，
∴k2+2k+2=5k，
∴k=1或k=2．
【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式．
2．（2025·山东济南·一模）如图1，已知抛物线y1=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C(0,−3)，其对称轴为直线l1:x=1，顶点为D，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点E，对称轴为直线l2,y2与x轴在对称轴左侧的交点为F．
(1)试求抛物线y1和抛物线y2的解析式；
(2)在图1中，点P的坐标为(5,0)，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接PM,EN，求PM+MN+EN的最小值；
(3)如图2，将直线DF沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段CE上运动（包括端点），△QDF的面积为正整数时，恰好直线DF与抛物线y1或抛物线y2交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为 ．
【答案】(1)y1=x2−2x−3，y2=−x2−2x+3
(2)34+2
(3)0,3
【分析】（1）利用待定系数法可求出y1的解析式，可得点D坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得抛物线y2的顶点坐标，进而即可求解；
（2）连接EM，由y2解析式可得E(0,3)，对称轴为直线l2:x=−1，进而可得MN=1−(−1)=2，点M,N关于y轴对称，得到PM+MN+EN=PM+EM+2，可知当点P,M,E三点共线时，可知PM+EM最小，此时PM+EM=PE，利用勾股定理求出PE即可求解；
（3）求出F点坐标，可得直线DF的解析式为y=−x−3，设直线DF沿y轴向上平移n个单位长度，则所得直线解析式为y=−x−3+n，由x2−2x−3=−x−3+n得n=2或 6 ；由−x2−2x+3=−x−3+n得n=4或 6 ，综上可得n=6，据此即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，c=−3−b2=1，
∴b=−2c=−3，
∴抛物线y1的解析式为y1=x2−2x−3，
∵y1=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴顶点D(1,−4)，
∵将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，
∴抛物线y2的顶点坐标为(−1,4)，
∴抛物线y2的解析式为y2=−(x+1)2+4=−x2−2x+3，
即y2=−x2−2x+3；
（2）解：连接EM，
∵y2=−x2−2x+3，顶点坐标为(−1,4)，
∴E(0,3)，对称轴为直线l2:x=−1，
∵MN∥x轴，点M在直线l1上，点N在直线l2上，
∴MN=1−(−1)=2，且点M,N关于y轴对称，
∴EN=EM，
∴PM+MN+EN=PM+EM+2，
当点P,M,E三点共线时，可知PM+EM最小，此时PM+EM=PE，
∵PE=52+32=34，
∴PM+MN+EN的最小值为34+2；
（3）解：把y=0代入y2=−x2−2x+3得，−x2−2x+3=0，
解得：x1=1,x2=−3，
∴F(−3,0)，
设直线DF的解析式为y=kx+d，
把D(1,−4),F(−3,0)代入得，−4=k+d0=−3k+d，
解得：k=−1d=−3，
∴直线DF的解析式为y=−x−3，
设直线DF沿y轴向上平移n个单位长度，则所得直线解析式为y=−x−3+n，
由x2−2x−3=−x−3+n得，x2−x−n=0，
当直线DF与抛物线y1交点的横，纵坐标均为整数时，则Δ=(−1)2+4n=1+4n是个完全平方数，
∵n≤3−(−3)=6，
∴n=2或6；
由−x2−2x+3=−x−3+n得x2+x+n−6=0，
当直线DF与抛物线y2交点的横，纵坐标均为整数时，则Δ=12−4(n−6)=25−4n是个完全平方数，
∴n=4或 6 ；
综上，n=6，
∴点Q的坐标为(0,3)，
当点Q的坐标为(0,3)时，QC=3−(−3)=6，
∵x=0时，y=−x−3=−3，
∴点C(0,−3)在直线DF上，
∴S△QDF=S△FQC+S△DQC
=12×6×3+12×6×1
=12，符合题意，
故答案为：(0,3)．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，关于原点对称的点的坐标特征，一次函数的平移，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C，且抛物线的顶点D的坐标为1,4，连接BC，拋物线的对称轴与BC交于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B，D两点之间的部分（不包含B，D两点），是否存在点G，使得S△BGH=3S△DGH，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E，求点E的坐标．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)存在，G3,23
(3)E0,1
【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可；
（2）求出直线BC的解析式，过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线BC于点N，分别表达出G，M，N的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可；
（3）设点E关于直线BC的对称点为E′，利用折叠和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵拋物线的顶点D的坐标为1,4，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+4，
∵抛物线过点A−1,0，
∴a−1−12+4=0，
解得a=−1，
∴抛物线的解析式为y=−x−12+4=−x2+2x+3；
（2）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴C0,3，
设直线BC的解析式为y=kx+b，代入C0,3和B3,0可得：
b=33k+b=0，
解得：k=−1b=3，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3，
∵抛物线的对称轴与BC交于点H，
∴把x=1代入y=−x+3可得：y=2，
∴H1,2，
∴DH=2，
过点G作GM∥x轴交对称轴于点M，过点G作GN∥y轴交直线BC于点N，如图所示：
设点G的坐标为m,−m2+2m+31