四川省成都市2024-2025学年高二上学期期末考试数学模拟试卷（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，，，再根据投影向量公式求解即可.
【详解】因为向量，，
则，，
，
所以向量在向量上的投影向量为
故选：A．
2. 若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率，求出k的取值范围，求出的取值范围即可.
【详解】解：若直线l的方向向量是，则直线l的斜率，所以，则或.
故选：D.
3. 已知抛物线和双曲线的公切线（是与抛物线的切点），与抛物线的准线交于，为抛物线的焦点，若，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过作抛物线的准线于，结合抛物线的定义可得直线的斜率为1，求得的方程，两次利用判别式为零列方程可求得抛物线的方程.
【详解】如图过作抛物线的准线于，根据抛物线的定义可知，，
，在中，，，
即直线的斜率为1，故设的方程为：，
由，消去得，
则，解得，即，
由得，，得，
则抛物线的方程是，
故选：A．
4. 若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线求出实半轴、虚半轴和和焦距,根据图像的对称性得出,又根据双曲线的定义得到,得到,将其设为关于的函数,利用导数求出函数的极值即可得出取值范围.
【详解】解：由得,,,
则左焦点,右焦点,
因为题中给出为双曲线的左焦点,
则,,
又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称,
所以,
又根据双曲线的定义,
所以,
设
所以,
设,,
令解得或,（）,
所以在单调递减,在单调递增,
,
,
所以的取值范围为,
则的取值范围是,
故选：D
【点睛】本题考查双曲线的定义及其基本性质,利用导数求得双曲线与直线的交点间的取值范围,利用双曲线定义可使数据简化.
5. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ）
A. 与，与，与，与都相互独立
B. 与对立事件
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立事件和对立事件定义可知AB正误；根据独立事件概率乘法公式可知C错误；根据对立事件概率公式可求得D错误.
【详解】对于A，两人射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独立，A正确；
对于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”，
与不是对立事件，B错误；
对于C，与相互独立，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：A.
6. 下列命题中正确的是（ ）
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
D. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间向量对称性知识来判断A，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断B，利用空间四点共面的性质来判断C，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；
对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，则或，B选项错误；
对于C ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，C选项错误；
对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，D选项正确；
故选：D.
7. 以下四个命题表述正确的是（ ）
①若点，圆的一般方程为，则点A在圆上
②圆的圆心到直线的距离为2
③圆与圆外切
④两圆与的公共弦所在的直线方程为
A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
【答案】B
【解析】
【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案.
【详解】将点代入圆方程，满足，故①正确；
圆的圆心为，到直线的距离为，②错误；
圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径为，圆心距为，故③正确；
两圆与方程相减得到，即公共弦方程为：，④错误.
故选：B.
8. 等腰直角内接于抛物线，其中为抛物线的顶点，，的面积为16，为的焦点，为上的动点，则的最大值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设等腰直角三角形的顶点，，利用可求得，进而可求得，由求得P=2．做抛物线的准线，与x轴的交点为N（-1,0），MA垂直于准线，由抛物线的定义得|MF|=|MA|，设到准线的距离等于，化简为，换元，利用基本不等式求得最大值．
【详解】设等腰直角三角形的顶点，，则，．
由得：，
，即，
，，，
，即关于轴对称．
直线的方程为：，
与抛物线联立，解得或，
故，
．
的面积为16，；
焦点，设，则，，设到准线的距离等于，

则．
令，，则（当且仅当 时，等号成立）．
故的最大值为，
故选．
【点睛】本题考查抛物线的性质，求得，关于轴对称是关键，考查抛物线的定义，基本不等式的应用，体现了换元的思想，正确运用抛物线的定义是关键，属于难题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
【答案】BC
【解析】
【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D.
【详解】对于A，平均成绩为，A错误；
对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，
因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；
对于C，分数在区间内的频率为，C正确；
对于D，区间应抽取人，D错误.
故选：BC
10. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ）
A.
B. 若，则直线倾斜角的正弦值为
C. 若的面积为6，则直线的斜率为
D. 过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义、弦长、面积、圆的切线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设Ax0,y0，则，则，故，故A正确；
设直线，联立则，
设，则，
故.，
解得，则直线倾斜角的正弦值为，故B错误；
，解得，
则直线的斜率为，故C正确；
由上述分析可知，，
圆可化为，圆心，半径，
易知为其中一条切线，切点为，且两切点连线与垂直，
，两切点连线的斜率为，
故两切点连线为，
即，故D正确
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
联立方程法求交点：通过设定直线方程并联立抛物线方程，得到交点的坐标表达式．这是求解涉及两条曲线交点时的基本方法．
面积与斜率的关系：在C选项的分析中，利用三角形面积公式推导出直线的斜率，通过面积与几何图形特性的关系有效求解参数．
圆的切线与切点方程：在D选项的分析中，使用圆的标准方程，通过作切线与圆心的垂直关系，找到切点并确定切线方程．
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，，；
对于A，，，，
，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面，A正确；
对于B，，，，
即直线与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
平面，平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成角的余弦值为，C正确；
对于D，，设，则，
，又，
，
到直线的距离，
当时，，
即点到直线距离的最小值为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. A，两名乒乓球选手进行决赛，根据赛前两位选手的统计数据，在一局比赛中获胜的概率是，若采用“五局三胜制”，则选手获胜的概率为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合独立重复试验概率公式，分三种情况讨论即可求解.
【详解】若比赛进行了3局，则A获胜的概率是；
若比赛进行了4局，A获胜的概率是；
若比赛进行了5局，A获胜的概率是.
故选手获胜的概率为.
故答案为：.
13. 若点在椭圆上，则称点为点一个“椭点”.已知直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以线段为直径的圆经过坐标原点，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆的性质可确定，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入等式即可构造方程求得结果.
【详解】设，，则，，
以线段为直径的圆经过坐标原点，，
由得：，
，即，
，，
，
，解得：（满足），
的值为.
故答案为：.
14. 已知椭圆的左右顶点分别为，，且，为上不同两点（，位于轴右侧），，关于轴的对称点分别为为，，直线、相交于点，直线、相交于点，已知点，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得点，的轨迹为双曲线的右支，进而根据双曲线的性质得解．
【详解】设点，则，，
则，
，
，
点的轨迹方程为，
即点的轨迹方程为，

同理可得，点也在双曲线上，
点恰为双曲线的左焦点，
设双曲线的右焦点为，
根据双曲线定义可得：
，
当且仅当三点共线时，即得，
的最小值为．
故答案为:．
【点睛】关键点点睛：解题的关键是距离的转化，应用双曲线的定义得到，结合图形特征即可得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
（1）用向量表示；
（2）若，求实数x，y，z的值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.
【小问1详解】
在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
【小问2详解】
，
而，且不共面，
所以.
16. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表：
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）当时，求游戏三的获胜概率；
（3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大.
【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为
（2）
（3）的所有可能取值为5，6，7
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案.
（2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案.
（3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值.
【小问1详解】
设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则，
因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为.
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间，
则，因为，
所以，所以，所以游戏二获胜的概率为.
【小问2详解】
游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为，
时，样本的个数为2，所以所求概率为；
【小问3详解】
设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”，
则，且，，互斥，相互独立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则，
所以，即.
进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
当时，，舍去
当时，，满足题意，
因此的所有可能取值为.
【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解.
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在轴上的圆经过两点和，直线的方程为.
（1）求圆的方程；
（2）当时，为直线上的定点，若圆上存在唯一一点满足，求定点的坐标；
（3）设点A，B为圆上任意两个不同的点，若以AB为直径的圆与直线都没有公共点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或 ；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设圆的方程为，列方程解得即可；
（2）根据题意，利用得点的轨迹方程为，再利用两圆相切解得即可.
（3）记以为直径的圆为圆，设，得圆的半径，利用，表示出动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆的内部(含边界)，再利用点C到直线l的距离，解得即可.
【详解】（1）设圆的方程为，将M，N坐标带入，
得： ，解得，
所以圆的方程为.
（2）设，，由，即，
化简得，
由题意，此圆与圆C相切，故，解得，
所以或
（3）记以AB为直径的圆为圆M，设圆M上有一动点，
设，则圆M的半径，于是
，其中为的夹角，.
因为，所以.
故点在以为圆心，为半径的圆的内部(含边界)，
所以点C到直线l的距离，即，解得.
【点睛】本题考查圆与方程，直线与圆的位置关系，阿波罗尼斯圆，隐圆问题，属于中档题.
18. 如图，在梯形ABCD中，，，，四边形ACFE为矩形，平面平面，，点M是线段EF的中点．
（1）求平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值；
（2）求出直线CD到平面MAB的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直性质得线面垂直，利用垂直关系建立空间直角坐标系，分别求平面MAB与平面EAD的法向量，再求解夹角即可得；
（2）由线面平行关系，将直线CD到平面MAB的距离转化为点到平面的距离，利用法向量求解可得.
【小问1详解】
因为在梯形ABCD中，，，，
如图，过C作交AB于G，则四边形是平行四边形.
可得，.
在中，由余弦定理得，
所以，得，
又平面平面，平面平面， 平面，
所以平面；
因为四边形ACFE为矩形，所以，
又平面平面，平面平面， 平面，
所以平面，平面，则.
如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则A3,0,0，， ，，，
所以，，，，
设平面MAB的法向量为，
则，取，得，
设平面EAD的法向量为，
则，取，得，
所以．
所以平面MAB与平面EAD所成锐二面角的余弦值为．
【小问2详解】
由，平面，平面，
则平面.
则直线到平面的距离即为点到平面的距离.
由（1）知，，平面的一个法向量，
则点到平面的距离.
故直线CD到平面MAB的距离为.
19. 如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点，过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
（3）以点E0,2为圆心，为半径圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析，定值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据离心率可得的关系，再根据可求，故可求标准方程.
（2）设Ax1,y1，则可得，根据在椭圆上可得定值.
（3）求出的方程，分别联立直线方程和椭圆方程、直线方程和圆的方程后可得的横坐标，从而可得面积之比，结合换元法可得范围.
【小问1详解】
由题设有，且，故，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
设Ax1,y1，则，故，
而，故.
故为定值且定值为.
【小问3详解】
由题设.
圆，直线，
由可得即，
故，
由可得即，
同理，
而，，
而，故
，
令，故，其中，
故
，
而，故，故.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用斜率或点的坐标表示目标函数，后者需要结合不等式、函数性质或导数等工具来求范围.
游戏一
游戏二
游戏三
箱子中球的
颜色和数量
大小质地完全相同的红球3个，白球2个
（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则
取出一个球
有放回地依次取出两个球
不放回地依次取出两个球
获胜规则
取到白球获胜
取到两个白球获胜
编号之和为获胜
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5