2024-2025学年四川省成都市高一上册期末数学模拟检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高一上册期末数学模拟检测试卷（含解析），共19页。
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合，则( )

2.幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）

3.已知，则（ ）

4.函数的图象大致是（ ）
A B C D
5.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（ ）

6.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式，已知描述的是一种果树的高度随普般种时间（单位：年）变化的规律，若刚栽种（） 时该果树的高为，经过2年，该果树的高为，则该果树的高度不低于，至少需要（ ）
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）

8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（ ）

二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对得部分分．
9.下列说法正确的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D.命题“”的否定是“”
10.对于函数，说法正确的是（ ）
A.若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B.若函数的值域为，则实数
C.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D.若，则不等式的解集为
11.设函数，则（ ）
A. 当时，函数有最小值为
B. 当时，函数是增函数
C. 当时，函数有最小值为4
D. 存在正实数，使得函数在上单调递增
第 = 2 \* ROMAN II卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. .
13.已知，且，则 .
14.已知函数，当时，关于的方程的解的个数为 .
四、解答题：本题共5个小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分.
15.已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值；
16.若不等式的解集是.
（1）试求的值；
（2）求不等式的解集.
17.（2023成都七中期中）在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
18.设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明在区间内单调递增；
（3）若对于区间上的每一个，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
（1）判断是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
（2）若是“圆锥托底型”函数，求出的最大值；
（3）问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
2024-2025学年四川省成都市高一上学期期末数学模拟检测试卷
第 = 1 \* ROMAN I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上的无效．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合，则( )

【正确答案】C.
，∴，故选C.
2.幂函数在上单调递增，则实数的值为（ ）

【正确答案】D.
由题易知：，时，在区间上单调递减，不符合题意，舍去；时，在上单调递增，符合题意，故，选D.
3.已知，则（ ）

【正确答案】D.
对于A选项：∵，∴，故选项A错误；
对于选项B，∵，∴，即，故选项B错误；
对于选项C，∵，∴，∴，故选项C错误；
对于选项D，∵，∴，∴，故选项D正确.
故选D.
4.函数的图象大致是（ ）
A B C D
【正确答案】B.
∵，∴为奇函数，图象关于原点对称，排除A，C选项
又∵时，，∴，故选项B正确，选B.
5.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（ ）

【正确答案】C.
∵弧长为的弧所对的圆心角为，∴
∴.
6.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为 的形式，已知描述的是一种果树的高度随普般种时间（单位：年）变化的规律，若刚栽种（） 时该果树的高为，经过2年，该果树的高为，则该果树的高度不低于，至少需要（ ）
A.3年 B.4年 C.5年 D.6年
【正确答案】A.
由题意可知：，∴
令，解得，且在定义域内单调递增，所以，至少需要3年，故选A.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）

【正确答案】B.
∵函数的值域为，∴为的值域的一个子区间
∴时，的值域为，符合题意，
时，需满足：，解得
故的取值范围为.故选B.
8.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（ ）

【正确答案】A.
∵是定义在上的偶函数，∴
∴，∵，且在上单调递减
∴，即，故选A.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对得部分分．
9.下列说法正确的是（ ）
A.“”是“”的充分不必要条件
B.“”是“”的必要不充分条件
C.“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题
D.命题“”的否定是“”
【正确答案】AD.
对于选项A,由不等式性质可知：，则
而时，对于，有，则不能得到，故“”是“”的充分不必要条件，选项A正确；
对于选项B，由可得，则不一定成立；
时，不妨取，此时，所以不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件，故选项B错误；
对于选项C，取，则是有理数，故选项C错误；
对于选项D，由特称命题的否定可知，“”的否定是“”，故选项D正确.
故选AD.
10.对于函数，说法正确的是（ ）
A.若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B.若函数的值域为，则实数
C.若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D.若，则不等式的解集为
【正确答案】AC.
对于选项A，函数的定义域为即对于恒有
当时，不符合题意，舍去，
当时，有，解得：，故选项A正确；
对于选项B，∵函数的值域为，∴的值域为，
∴，解得：，故选项B错误；
对于选项C，∵函数在区间上为增函数，
∴在也为增函数，且
∴，解得，故选项C正确.
对于选项D，时，，解，
则：，解得：，故选项D错误.
故选AC.
11.设函数，则（ ）
A. 当时，函数有最小值为
B. 当时，函数是增函数
C. 当时，函数有最小值为4
D. 存在正实数，使得函数在上单调递增
【正确答案】CD.
对于选项A，当时，在单调递增，无最小值，故选项A错误；
对于选项B，时，函数在和为增函数，在处不连续，故选项B错误；
对于选项C，时，，当且仅当时等号成立，故选项C正确；
对于选项D，时，在单调递增，∴存在正实数，使得函数在上单调递增
时，在单调递增，∴存在正实数，使得函数在上单调递增，故选项D正确；
故选CD.
第 = 2 \* ROMAN II卷
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. .
【正确答案】.
.
13.已知，且，则 .
【正确答案】.
∵，∴，又∵，∴
∴，∴
14.已知函数，当时，关于的方程的解的个数为 .
【正确答案】4.
嵌套型函数，设
图象如图所示：
∵，∴有三个不等根，不妨设
函数的图象如图所示：
∴当时，有两个不等根；
时，有1个不等根；
时，有1个不等根；
综上，有4个不等根.
四、解答题：本题共5个小题，其中15题13分，16，17题15分，18，19题17分，共77分.
15.已知
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值；
【正确答案】（1）；（2）.
（1）；
（2）∵，∴，∵是第三象限角，∴，
∴，∴.
16.若不等式的解集是.
（1）试求的值；
（2）求不等式的解集.
【正确答案】（1）；（2）.
（1）∵不等式的解集是
∴的两根分别为，且
∴，解得.
（2）将代入得到：
即，即，解得
∴不等式的解集为.
17.（2023成都七中期中）在经济学中，函数的边际函数定义为，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）.（以下问题请注意定义域）
（1）求收入函数的最小值；
（2）求成本函数的边际函数的最大值；
（3）求生产台光刻机的这种设备的的利润的最小值.
【正确答案】（1）48千万元；（2）；（3）千万元.
（1）∵，∴
∴，当且仅当，即时等号成立.
∴收入函数的最小值为48千万元.
（2）
由复合函数单调性可知：在定义域内单调递增
∴当时，有最大值为.
（3）
∴当即时，有最小值，为7千万元.
18.设为奇函数，为常数.
（1）求的值；
（2）证明在区间内单调递增；
（3）若对于区间上的每一个，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
（1）∵为奇函数，∴
∴
∴解得：；经检验不符合题意.
∴的值为.
（2）由（1）知：
任取，
则
∵，∴，∴，∴
∴，即
∴在区间内单调递增.
（3）对于区间上的每一个，不等式恒成立
∴恒成立
设，则恒成立
∴只需对于区间上的每一个都成立
易知在区间上单调递增
∴只需即可
∴的取值范围为.
19.函数的定义域为，若存在常数，使得对一切实数均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
（1）判断是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
（2）若是“圆锥托底型”函数，求出的最大值；
（3）问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.
【正确答案】（1）是“圆锥托底型”函数；不是“圆锥托底型”函数.；（2）2；（3）详见解析..
（1）∵对于一切的实数均成立，
∴是“圆锥托底型”函数；
对，假设存在常数，使得对一切实数均成立
而当时，由解得，与题设矛盾，
∴不是“圆锥托底型”函数.
（2）∵是“圆锥托底型”函数
∴存在常数，使得对一切实数均成立
∴当时，有
∵，当且仅当时等号成立
∴
当时，对一切实数均成立
故的最大值为2.
（3）①当时，，无论取何正数，当时都有，
∴不是“圆锥托底型”函数;
②当时，，若对于任意的有，即
此时取可使对一切实数均成立
∴是“圆锥托底型”函数；
当时，，无论取何正数，取，均有，
∴不是“圆锥托底型”函数
④当时，，无论取何正数，取，有
∴不是“圆锥托底型”函数
综上：当且仅当时，是“圆锥托底型”函数.