浙江省台州市温岭中学2024-2025学年高一下学期3月考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：C.
2. 设命题 ，则命题 的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知，
命题 的否定为 .
故选：D．
3. 已知角 的终边上一点 的坐标为 ，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，则
（ ）
A. B. C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得 ，再根据和角公式求解即可.
【详解】解：因为角 的终边上一点 的坐标为 ，角 的终边与角 的终边关于 轴对称，
所以，点 是角 的终边上的点，
所以， ，
所以
故选：C
4. 若向量 ， 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.
【详解】因为 ， ，即 ， ，求得
，所以向量 与 的夹角为 .
故选：B
5. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“ 分段法”比较出 的大小关系.
【详解】因为 ， ， ，所以 .
故选：D
【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题.
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6. 若 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性可得 ， ， ，可得结论.
【详解】因为 在 上单调递减，又 ，所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
7. 已知 a，b 为正实数且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将 代入 ，利用基本不等式可求最小值.
【详解】由题意， ，又 a，b 为正实数，
所以由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：D.
8. 已知函数 ，若 图像的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐
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标均不属于区间 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得 ， ，且 ，解之讨论 ，可得选
项.
【详解】因为 的图像的任何一条对称轴与 轴交点的横坐标均不属于区间 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，且 ，解得 ，
又因 ，
所以 ，解得 ，
当 时， 符合题意，
当 时， 符合题意，
所以 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递减的是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于 A，定义域为 ，令 ，因为 ，
所以此函数为偶函数，由幂函数性质可知函数 在区间 上单调递减，
所以 A 正确；
对于 B，定义域为 ，令 ，因为 ，
所以此函数为偶函数，因为 在 上单调递减，所以 B 正确；
对于 C，定义域为 ， 为定义域递减的函数，不具有奇偶性，所以 C 错误；
对于 D，定义域为 ，令 ，因为 ，
所以此函数为偶函数，当 时， ，因为 在 上单调递减，
所以 D 正确.
故选：ABD
10. 已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求；对于 B，结合选项 A 中结论，
判断得 ，从而求得 的取值范围即可判断；对于 D，利用选项 C 中的结论求得 ，进而
求得 ，即可解答.
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【详解】对于 A，由 ①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ，则 ②，故 A 正确；
对于 B，∵ ，∴ ，由②知 ， ，故 B 正确；
对于 C，又 ，故 C 错误；
对于 D，由方程 ，解得 ，所以 ，故 D 正确.
故选：ABD.
11. 已知函数 若函数 所有零点的乘积为 1，则实数 的值可以为（
）
A. B. 2 C. 3 D. 4
【答案】BD
【解析】
【分析】令 ，可得 ，讨论 与 图象位置关系求解即可.
【详解】由题意，作出函数 的图象如图.
令 ，则函数 ，即 ，即 ，即 .
由题意函数 所有零点的乘积为 1，
可知 的所有解的乘积为 1，
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而 的解可看作函数 的图象与直线 的交点的横坐标.
结合 的图象可知，
当 时，函数 的图象与直线 有 2 个交点，
不妨设交点横坐标为 ，则 ，
且 ，即 ，所以 ，所以 ，符合题意；
当 时，函数 的图象与直线 有 3 个交点，
其中只有最左侧交点的横坐标小于等于 0，
则 的所有解的乘积小于等于 0，不合题意；
当 时，函数 的图象与直线 有 2 个交点，
不妨设交点横坐标为 ，则 ，
且 ，即 ，所以 ，所以 ，符合题意.
综合以上，可知实数 的取值范围为 ，
故选：BD.
【点睛】方法点睛：（1）转化法：利用换元法，令 ，将函数 所有零点的乘
积为 1，转化为 的所有解的乘积为 1；
（2）数形结合法：作出函数 的图象，数形结合，分类讨论解决问题.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数 ，则 的值为__________．
【答案】1.
【解析】
【分析】根据指数、对数的运算算出答案即可.
【详解】因为
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所以 ，
所以
故答案为：1
13. 已知实数 ， 满足 ，则 的最大值是__________．
【答案】81
【解析】
【分析】由直线 与圆相切，即可求解；
【详解】由题意可知当直线 与圆 相切时，
取得最值，即： ，
可得： ，
解得： 或 ，
所以 的最大值是 81，
故答案为：81
14. 设 为实数，若实数 是关于 的方程 的解，则 _________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】将已知等式变 ，构造函数 ，结合其单调性推出
，即得 ，由此可化简求值，即得答案.
【详解】由题意知 ，得 ，
即 ，
设 ，则 在 上单调递增，
则由 可得 ，
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而实数 是关于 的方程 的解，即 ，
故 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能够变形得到 ，从而结合 的
单调性推出 ，即 ，即可求解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知全集 ，集合 ，集合 .
（1）求集合 ；
（2）设集合 ，若集合 ，且 是 的充分不必要条件，求实数
a 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解分式不等式得到 或 ，根据补集和交集概念求出答案；
（2）得到 为 的真子集，且 ，从而得到不等式，求出答案.
【小问 1 详解】
，
等价于 ，解得 或 ，
故 或 ， ，
而 ，
所以 .
【小问 2 详解】
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由（1）知， ，
由 是 的充分不必要条件，故 为 的真子集，
又 ，
故 ，解得 ，
故实数 a 的取值范围是 .
16. 在直角梯形 中，已知 ， ， ，点 是 边上的
中点，点 是 边上一个动点．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用 结合向量的线性运算表示 ，再借助数量积及运算律求解
作答.
（2）令 ， ，利用 结合向量的线性运算表示 ，再借助数量积及运算律
求解作答.
【小问 1 详解】
依题意， ， ， ，
而 是 边的中点， ，则 ，
因此 ，又 ，
，
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所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知：令 ， ，则 ，
，
则有 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围是 .
17. 已知函数 是定义在 上的奇函数， 是定义在 上的偶函数，当 时，
．
（1）求 和 解析式；
（2）判断 在区间 上的单调性并证明；
（3）若对 ，都有 ，求实数 m 的取值集合．
【答案】（1） ； ；
（2） 在区间 上单调递减，证明见解析
（3） .
【解析】
【分析】（1）由 即可求得函数 的解析式，再由函数 是 上的偶函数，即可得到其解
析式.
（2）由函数单调性的定义法即可证明 的单调性；
（3）根据题意，由偶函数的性质可得 ，再由函数 的奇偶性以及单调性可得
，由对数函数的单调性即可求解不等式.
【小问 1 详解】
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因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，
所以 ，且满足 ，即 ；
设 ，则 ，即 ，
又 是定义在 上的偶函数，则 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
在区间 上单调递减.
证明：任取 ，且 ，
则
，
由 可得 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减.
【小问 3 详解】
因为 是定义在 上的偶函数，
且当 时， ，其对称轴为 ，
所以当 时， 单调递增，
对 ，都有 ，即 ，
由（1）可知， 是定义在 上的奇函数，
且 时， 单调递减，
所以 ，
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所以 ，即 或 ，
当 时，即 ，解得 ；
当 时，即 ，解得 ；
综上所述，实数 m 的取值集合为 .
18. 某摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为 30 米，轮上最低点与地面的距离为 2 米，沿逆时针方向
匀速旋转﹐旋转一周所需时间为 分钟．在圆周上均匀分布 12 个座舱，标号分别为 1～12（可视为点）．
现 4 号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为 t 分钟．
（1）求 1 号座舱与地面的距离 h 与时间 t 的函数关系 的解析式；
（2）在前 24 分钟内，求 1 号座舱与地面的距离为 17 米时 t 的值；
（3）记 1 号座舱与 5 号座舱高度之差的绝对值为 H 米，若在 这段时间内，H 恰有三次取得最大
值，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）14 或
（3）
【解析】
【分析】（1）设 1 号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为 ，
，根据所给条件求出 、 、 、 ，即可得到函数解析；
（2）由（1）中的解析式得出 ，结合正弦函数的性质计算可得；
（3）依题意可得 ， ，从而得到高度差函数 ，利用两
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角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时 的值，即可得解；
【小问 1 详解】
设 1 号座舱与地面的距离 与时间 的函数关系的解析式为 ， ， ，
则 ， ，
所以
依题意 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
故 ；
【小问 2 详解】
令 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 或 ，解得 或 ，
即 或 时 1 号座舱与地面的距离为 17 米；
【小问 3 详解】
依题意 ， ，
所以
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令 ，解 ，
所以当 时 取得最大值，
故 ，解得 ，
所以 .
19. 定义：若对定义域内任意 x，都有 （a 为正常数），则称函数 为“a 距”增函数．
（1）若 ， (0， )，试判断 是否为“1 距”增函数，并说明理由；
（2）若 ， R 是“a 距”增函数，求 a 的取值范围；
（3）若 ， (﹣1， )，其中 k R，且为“2 距”增函数，求 的最小值．
【答案】（1）见解析； （2） ； （3） .
【解析】
【分析】（1）利用“1 距”增函数的定义证明 即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到
在 上恒成立，求出 a 的取值范围即可；（3）由 为“2
距”增函数可得到 在 恒成立，从而得到 恒成立，
分类讨论可得到 的取值范围，再由 ，可讨论出 的最小值．
【详解】（1）任意 , ,
因为 , , 所以 ，所以 ，即 是“1 距”增函数．
（2） .
因为 是“ 距”增函数，所以 恒成立，
因为 ,所以 在 上恒成立，
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所以 ，解得 ，因为 ,所以 .
（3）因为 ， ，且为“2 距”增函数，
所以 时， 恒成立，
即 时， 恒成立，
所以 ，
当 时， ，即 恒成立，
所以 , 得 ;
当 时， ，
得 恒成立，
所以 得 ,
综上所述，得 .
又 ，
因为 ,所以 ，
当 时，若 ， 取最小值为 ；
当 时，若 ， 取最小值
因为 在 R 上是单调递增函数，
所以当 ， 的最小值为 ；当 时 的最小值为 ，
即 .
【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论
思想的运用，属于中档题．
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