2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州十四中高二（上）期末数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若一条直线经过两点(1,0)和(−2, 3)，则该直线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.空间一点P在xOy平面上的射影为M(2,4,0)，在xOz平面上的射影为N(2,0,7)，则P在yOz平面上的射影Q的坐标为( )
A. (2,4,7)B. (0,0,7)C. (0,4,7)D. (0,2,7)
3.已知⊙C：x2+y2+2x− 2y+12=0，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. (−12, 22)，1B. (−1, 22)，1
C. (−12, 22)， 22D. (−1, 22)， 22
4.若方程x22+m+y25−2m=1表示椭圆，则m的取值范围是( )
A. −20)的短轴长为2 3，离心率为12．
(1)求C的方程；
(2)如图，过点O的直线l(异于y轴)与C交于点P，Q，过左焦点F作直线PQ的垂线交圆x2+y2=a2于点M，N，垂足为T．
①若点A(−4,0)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值；
②记△PTN，△QTM的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.A
9.BC
10.ACD
11.ABC
12.−2
13.403
14. 5
15.解：(1)根据题意，圆C：(x−4)2+y2=25，
点P(1,4)，有(1−4)2+42=25，点P在圆C上，
kPC=4−01−4=−43，
故切线的斜率k=34，
此时直线l的方程为34x−y+134=0，即3x−4y+13=0，
故直线l的方程为3x−4y+13=0；
(2)根据题意，若l的倾斜角为π4，则其斜率k=tanπ4=1，
则其方程为y−4=x−1，即x−y+3=0，
圆心C到直线l的距离d=|4−0+3| 1+1=7 22，
故直线l被圆C截得的弦长为2 52−(7 22)2= 2．
16.解：(1)∵2an=bn⋅bn+1，an+an+1=bn+12，
∴bn⋅bn+12+bn+1⋅bn+22=bn+12，即bn+1(bn+2+bn)=2bn+12，
又{bn}的各项均不为零，
∴两边同时除以bn+1得bn+2+bn=2bn+1，
∴{bn}是公差d>0的等差数列，
在2an=bn⋅bn+1中，令n=1得2a1=b1⋅b2，
又a1=b2，故b1=2，
在an+an+1=bn+12中，令n=1得a1+a2=b22，
其中a1=b2，a2=b6，故b2+b6=b22，
即2+d+2+5d=(2+d)2，解得d=2或d=0(舍去)，
故bn=b1+(n−1)d=2+2(n−1)=2n；
(2)∵cn=|9−2n|，
∴当1≤n≤4时，cn=9−2n，当n≥5时，cn=2n−9，
设{9−2n}前n项和为Sn，
当1≤n≤4时，Tn=n2(7+9−2n)=8n−n2，
当n≥5时，Tn=S4−(Sn−S4)=2S4−Sn=2×16−(8n−n2)=n2−8n+32，
综上，Tn=8n−n2,1≤n≤4n2−8n+32,n≥5．
17.解：(1)当m=e时，点P(1,e)在f(x)=xex上，
由f(x)=xex得，f′(x)=(1+x)ex，
若P(1,e)不是切点，设切点为(x0,x0ex0)，
则f′(x0)=(1+x0)ex0，
故切线方程为y−x0ex0=(1+x0)ex0(x−x0)，
又P(1,e)在切线方程上，
故e−x0ex0=(1+x0)ex0(1−x0)，整理得(x02−x0−1)ex0+e=0，
令u(x)=(x2−x−1)ex+e，x≠1，
则u′(x)=(x2−x−1+2x−1)ex=(x2+x−2)ex，
令u′(x)>0得x>1或x