西安市第八十五中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份西安市第八十五中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．,,若,则( )
A.8B.7C.6D.5
2．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
3．如图,四边形是平行四边形,点E,F分别为,的中点,若以向量,为基底表示向量,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
4．从商业化书店到公益性城市书房,再到“会呼吸的文化森林”--图书馆,建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声,现有一块不规则的地,其平面图形如图1所示,（百米）,建立如图2所示的平面直角坐标系,将曲线AB看成函数图象的一部分,为一次函数图象的一部分,若在此地块上建立一座图书馆,平面图为直角梯形（如图2）,则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为( )
A.2B.C.D.
5．为提升学生的数学素养,某中学特开设了“数学史”､“数学建模”､“古今数学思想”､“数学探究”､“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程,要求每位同学每学年至多选四门,高一､高二两学年必须将五门选修课程选完,则每位同学不同的选修方式为( )
A.30B.20C.15D.16
6．已知数列满足,,则( )
A.9B.C.11D.
7．函数的定义域为R,它的导函数的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )
A.是的极小值点
B.
C.函数在上有极大值
D.函数有三个极值点
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．关于的二项展开式,下列说法正确的是( )
A.二项式系数和为128B.各项系数和为-7
C.项的系数为D.第三项和第四项的系数相等
10．2022年在全世界范围内,气温升高是十分显著的,世界气象组织预测2022年到2026年间,有93%的概率平均气温会超过2016年,达到历史上最高气温纪录．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会,现有10名学生,其中5名男生5名女生,若从中选取4名学生参加研讨会,则( )
A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种
B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种
C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种
D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种
11．已知函数,下列判断正确的是( )
A.的单调减区间是,
B.的定义域是
C.的值域是
D.与有一个公共点,则或
12．如图,棱长为2的正方体中,E,F分别为棱,的中点,G为线段的动点,则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.不存在点G,使得平面EFG
C.设直线FG与平面所成角为,则的最大值为
D.点F到直线EG距离的最小值为
三、填空题
13．已知数列中,,,则___________.
14．在的展开式中,常数项为__________．
15．一个三位数，个位､十位､百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当且时，称这样的数为“凸数”（如341），则从集合中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为___________.
16．已知数列满足,,则___________．
四、解答题
17．某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌,3个舞蹈,3个曲艺节目,求分别满足下列条件排节目单的方法种数.
（1）一个唱歌节目开头,另一个压台;
（2）两个唱歌节目不相邻;
（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.
18．如图,直四棱柱底面为平行四边形,,,点P,M分别为,上靠近的三等分点．
（1）求点M到直线的距离;
（2）求直线PD与平面所成角的正弦值.
19．设为数列的前n项和,已知,．
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和．
20．已知函数.
（1）当时,求曲线在点处的切线方程;
（2）若函数在上单调递增,求a的取值范围.
21．已知椭圆的离心率是,是椭圆C上一点.
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）过点的直线l与椭圆C交于A,B（异于点P）两点,直线PA,PB的斜率分别是,,试问是否为定值？若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
22．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,解得,
所以.
故选：A.
2．答案：B
解析：对于A中,由,所以A错误;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,所以C错误;
对于D中,由,所以D错误.
故选：B.
3．答案：C
解析：点E,F分别为,的中点,
,
,
,
,,
,,
故选：C.
4．答案：D
解析：因,故,由题意
直线的方程为：,即,
将代入得,得,
所以,
因F在直线上,可设,
因E在上,故,,
所以,,,
直角梯形的面积,
即,
,
令得,又,所以S在区间上单调递增,
令得或,又,所以S在区间上单调递减,
故当时,取得最大值为,
故选：D.
5．答案：A
解析：将五门课程分为两组,每组的数量分别为1,4或2,3,
然后将这两组课程分配给高一、高二两个学年,
所以,每位同学不同的选修方式种数为种同的选择方式.
故选：A.
6．答案：B
解析：由数列满足,可得,即,
因为,可得,所以数列表示首项为,公差为的等差数列,
则,所以.
故选：B.
7．答案：B
解析：当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
所以有,因此选项B正确;
当时,,单调递增,
所以在上没有极大值,因此选项C不正确;
当时,,单调递增,
因此不是的极值点,只有当时,函数有极值点,
所以选项A不正确,选项D不正确,
故选：B.
8．答案：A
解析：令，则，所以在R上单调递增.
由，得，即，
又在R上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为.故选A.
9．答案：AC
解析：由题知,中二项式系数和为,故选项A正确;
将代入二项式中可得各项系数和为,故选项B错误;
在中,第项,
取,即,
所以,
所以项的系数为,故选项C正确.
在中,根据得第三项的系数为,
第四项的系数为,
因为,所以选项D错误;
故选：AC.
10．答案：AD
解析：选取的4名学生都是女生的不同选法共有种,故A正确;
恰有2名女生的不同选法共有种,故B错误;
至少有1名女生的不同选法共有种,故C错误;
选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有种,故D正确.
故选：AD．
11．答案：ABD
解析：对B,函数定义域满足,解得,故B正确;
对A,,令可得和,
解得和,故的单调减区间是,,故A正确;
对C,由A可得当和时单调递减,
当时单调递增,且,
作出简图,可得的值域是,故C错误;
对D,由图象可得,与有一个公共点,则或,故D正确;
故选：ABD.
12．答案：AD
解析：如图,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系.
则,,,,,
,,,,.
对选项A：由正方体以及面面平行的性质可得,平面,线段上的G到面距离为,
故,.
则为定值,正确;
对选项B：若存在点G,使平面EFG,设,
,,,,
则.
,,,故,
又由,平面EFG,故平面EFG,存在点G满足要求,不正确;
对选项C：过F作,垂足为,则平面,
则即所求线面角,当时,所求角最大,此时最小,
,,,错误;
对选项D：,,
故在方向上投影长度为,
当时,投影最大为,又,
所以点F到直线EG距离的最小值为,正确.
故选：AD.
13．答案：或-0.5
解析：由已知可得,,,,,
由此猜想是以3为周期的周期函数,证明如下：
,
故是以3为周期的周期函数,
所以.
故答案为：.
14．答案：-4
解析：的展开式的通项.
令,解得,
故常数项为．
故答案为：-4.
15．答案：
解析：由题意可得y只能去3，4，5，
当时，凸数有132，231共2个；
当时，凸数有142，241，143，341，243，342共6个；
当时，凸数有152，251，153，351，154，451，253，352，254，452，354，453共12个；
综上，共有20个凸数.
故答案为：20.
16．答案：2
解析：由数列满足,,
可得,
又由,所以
因为,可得,
所以.
故答案为：2.
17．答案：（1）1440
（2）30240
（3）2880
解析：（1）种排法.
（2）种排法.
（3）种排法.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可得,,
又点P为AB上靠近A的三等分点,所以．
在中,由余弦定理可得,
,
故,
所以为直角三角形,故．
因为底面ABCD为平行四边形,所以．
由直四棱柱性质可知,,
即DP,CD,两两垂直．
故以D为坐标原点,分别以DP,DC,所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz．
则,,,,
因为,过点M作,（点到直线的距离即为通过该点向直线做垂线,点到垂足的距离）
令,所以,故．
由,解得,所以,故点M到直线的距离为．
（2）因为,,,
设平面的法向量为,则即
令,得,,故．
设直线PD与平面所成角为,
则．
所以直线PD与平面所成角的正弦值为．
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
当时,,即;
当时,,即,
当时,,所以,
化简得：,当时,,即,
当,2时都满足上式,所以．
（2）因为,所以,
,
两式相减得,
,
,即,．
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,,
,易知,,
所以在点处的切线方程为,即.
（2）令,
因为在上单调递增,
则,
即在上恒成立,也即在上恒成立,
令,
则,显然在上恒成立,
所以可知在上单调递减,;
因此只需满足即可,解得.
综上,a的取值范围为.
21．答案：（1）
（2）是,
解析：（1）设椭圆C的焦距为,
由题意可得,解得,,
故椭圆C的标准方程为：.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0,设直线,,,
联立,整理得,
则,
,,
因为,所以,,
所以
.
故为定值,该定值为.
22．答案：（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）
解析：（1）由题意知的定义域为，
.
当时，，在上单调递减.
当时，令，，
故方程有两个不同的实数根，，且，.
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由可得，即，
设，
则.
设，则在上单调递减，且，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
所以，即m的取值范围为.