2024-2025学年湖南省张家界市高三上册第一次月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省张家界市高三上册第一次月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了已知定义在上的函数满足等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
3.的展开式中的常数项是（ ）
A.第673项 B.第674项
C.第675项 D.第676项
4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm，公共底面的半径为15cm，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为，现有青铜材料1000kg，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（ ）（注：）
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知定义在上的函数满足（为的导函数），且，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，点是上一点，若点的纵坐标为1，直线，则到的准线的距离与到的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，对于任意的，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为（ ）
A.3 B.9 C.3或9 D.
8.如图，已知长方体中，为正方形的中心点，将长方体绕直线进行旋转.若平面满足直线与所成的角为，直线，则旋转的过程中，直线与夹角的正弦值的最小值为（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，组偏向于智能自动化方向，组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（），测得组性能得分为：组性能得分为：，则（ ）
A.组性能得分的平均数比组性能得分的平均数高
B.组性能得分的中位数比组性能得分的中位数小
C.组性能得分的极差比组性能得分的极差大
D.组性能得分的第75百分位数比组性能得分的平均数大
10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中分别为两个截面椭圆的长轴，且都位于圆柱的同一个轴截面上，是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为，则能够保证的的值可以是（ ）
A. B.
C. D.
11.对于任意实数，定义运算“”，则满足条件的实数的值可能为（ ）
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在复平面内，复数对应的点为，则__________.
13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式__________.
①是常数，且；②；③的前项和存在最小值.
14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有__________种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有__________种不同的走法.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知为圆上一个动点，垂直轴，垂足为为坐标原点，的重心为.
（1）求点的轨迹方程；
（2）记第（1）问中的轨迹为曲线，直线与曲线相交于两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.
16.（本小题满分15分）
如图，四边形为圆台的轴截面，，圆台的母线与底面所成的角为，母线长为是的中点.
（1）已知圆内存在点，使得平面，作出点的轨迹（写出解题过程）；
（2）点是圆上的一点（不同于），，求平面与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操､增强学生的表现力和自信心､提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.
（1）声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为，设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点.
（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望.
18.（本小题满分17分）
已知数列为等比数列，为等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）数列的前项和为，集合共有5个元素，求实数的取值范围；
（3）若数列中，，求证：
19.（本小题满分17分）
设有维向量，称为向量和的内积，
当，称向量和正交.设为全体由和1构成的元数组对应的向量的集合.
（1）若，写出一个向量，使得；
（2）令.若，证明：为偶数；
（3）若是从中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足，猜测的值，并给出一个实例.
数学答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
6.D 由题得的焦点为，设倾斜角为的直线的方程为，
与的方程（联立得，
设，则，故的方程为.
由抛物线定义可知点到准线的距离等于点到焦点的距离，
联立抛物线与直线，化简得，
由得与相离.
分别是过点向准线､直线以及
过点向直线引垂线的垂足，连接，
所以点到的准线的距离与点到直线的距离之和，
等号成立当且仅当点为线段与抛物线的交点，
所以到的准线的距离与到的距离之和的最小值为
点到直线的距离，即.
故选：D.
7.A 设函数的最小正周期为，
因为函数在上单调递增，
所以，得，因此.
由知的图象关于直线对称，
则①.
由知的图象关于点对称，则②.
②-①得，令，则，
结合可得或9.
当时，代入（1）得，又，所以，
此时，因为，
故在上单调递增，符合题意；
当时，代入（1）得，又，所以，
此时，因为，
故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去.
综上，的值为3.
故选：A.
8.A 在长方体中，，
则直线与的夹角等于直线与的夹角.
长方体中，为正方形的中心点，则，又，
所以是等边三角形，故直线与的夹角为.
则绕直线旋转的轨迹为圆锥，如图所示，.
因为直线与所成的角为，所以直线与的夹角为.
在平面中，作，使得.
结合图形可知，当与直线平行时，与的夹角最小，为，
易知.
设直线与的夹角为，则，故当时最小，
而
，
故直线与的夹角的正弦值的最小值为.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.AD
10.AD
11.BD 由，可得，即，若，可得，符合题意，
若，可得，不符合题意，
若，可得，不符合题意，
若，可得，不符合题意，
综上所述，可得，
故只需判断四个选项中的是否为最大值即可.
对于，由题知，而，
，所以.
（点拨：函数为减函数，为减函数），
对于A，；对于B，，故A错误，B正确.
对于C，D
（将0.9转化为，方便构造函数）构造函数，
则，因为，所以单调递减，
因为，所以，
即，所以.
（若找选项中的最大值，下面只需判断与的大小即可）
，
构造函数，则，
因为，所以，令，则，
当时，单调递减，因为，
所以，即单调递减，又，所以，
即，所以.
综上，.对于C，；对于D，，故C错误，D正确.
（提醒：本题要比较0.09与的大小关系的话可以利用作差法判断，
即，
构造函数，
则，
因为，所以单调递增，因为，所以，
即，所以）
故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
由于复数对应的点为，所以，
故，
故
13.（答案不唯一）
14.35；14
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（1）设，则，因为的重心，
故有：，解得，代入，化简得，
又，故，所以的轨迹方程为.
（2）因为的垂心，故有，
又，所以，故设直线的方程为，
与联立消去得：，
由得，
设，则，
由，得，所以，
所以，
所以，化简得，
解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.
16.（1）是的中点，.
要满足平面，需满足，
又平面平面平面
如图，过作下底面的垂线交下底面于点，
过作的平行线，交圆于，则线段即点的轨迹.
（2）易知可以为坐标原点，所在直线分别为，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
母线长为，母线与底面所成角为，
，
取的位置如图所示，连接，
，即，
则，
则.
设平面的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面与平面所成的角为，则
，
.
17.（1）24名学生中恰有3名通过测试的概率，
则，
令，得，
所以当时，单调递增；
当时，单调递减，
故的极大值点.
（2）利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，
则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以的所有可能取值为，
，
，
则随机变量的分布列为
.
18.（1）设数列公比的为，数列公差的为
则由，
，即.
（2）设
则
令，
则
，
可得，
故当时，最大.
且，
，即的取值范围为.
（3）由，则
当时，
当时，也满足上式
故原不等式成立.
19.（1）由定义，只需满足，不妨取（答案不唯一）.
（2）对于，
存在使得.
当时，；当时，.令.
所以.
所以为偶数.
（3）当时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即.
不妨取
则有.
若存在，使，则或或.
当时，；
当时，；
当时，，
故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
D
C
D
D
A
A
AD
AD
BD
0
1
2
3