2024-2025学年湖南省长沙市高三上册第一次月考数学阶段检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市高三上册第一次月考数学阶段检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合,集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）
A． B． C． D．
4．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）
A． B． C．1 D．3
5．已知的展开式中的系数为80，则m的值为（ ）
A． B．2 C． D．1
6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
7．设,则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①;②；③平分;④点P关于原点对称的点为Q,且,能使双曲线C的离心率为的条件组合可以是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转到,则（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．当时，
C．当时，异面直线与所成的角为 D．面积的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．如图，某景区共有A,B,C,D,E五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．
13．已知函数在上是增函数，且，则的取值的集合为___________．
14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A，B,点C是曲线E上的一点，满足和的重心分别为的外心为R,记直线的斜率为,若，则双曲线E的离心率为___________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（13分）
设函数．
（1）若,求函数的单调区间；
（2）设函数在上有两个零点，求实数a的取值范围（其中e是自然对数的底数）
16．（15分）
如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面平面为线段的中点，且．
（1）求证：平面;
（2）若,直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
17．（15分）
软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．
若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习软笔书法的女生的人数．
（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X,求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：．
18．（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，且到的距离之和为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设B为A关于原点O的对称点，斜率为k的直线与线段（不含端点）相交于点Q,与椭圆C相交于点M,N,若为常数，求与面积的比值．
19．（17分）
设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②．
（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k,n表示）；
（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k,n表示）；
（3）记n阶“曼德拉数列”的前k项和为,若存在,使,试问：数列能否为n阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由．
数学答案
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C
，故．故选C．
2．D
，
所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D
3．D
根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可知,代入计算可得
故选：D
4．D
,解得,故选D
5．A
，
在的展开式中，由,
令，得r无解，即的展开式没有的项；
在的展开式中，由,
令,解得，
即的展开式中的项的系数为,
又的展开式中的系数为80，
所以,解得,故选A．
6．C
正方形中，,则,
而,则，
又点B,P,E共线，于是,即,而，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值．
故选：C
7．C
记．
因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，
所以当时，,即,所以．
记．
因为，所以在上单调递增函数，
所以当时，,即,所以．
所以．记．
因为，所以当时，，
所以在上单调递增函数，
所以当时，,即,所以．
所以,综上所述：．
故选：C
8．A
，
．
，
，
，
又因为，所以，
则,所以
．
．
故选：A
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．ACD
对于A:当时，由题意得,
解得,即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B:八级地震即时，,解得,
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C:六级地震即时，,解得,
所以,
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D:由题意得,
所以，所以
所以，即数列是等比数列，故D正确；
故选：ACD
10．AD
③平分且为中线，可得,
点P在双曲线的右支上，所以不成立；
若选①②：可得,
所以，即离心率为，成立；
若选②④：，点P关于原点对称的点为Q,
且，可得四边形为矩形，
即可得,
所以,即离心率为,成立；
故选：AD
11．BC
对于A,圆柱的侧面积为，A错误；
对于B,因为，所以,又,
所以平面,所以,B正确；
对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以为正三角形，所以,因为,所以，C正确；
对于D,作,垂足为E,连接,所以平面,所以．
在中，,
,所以,D错误．
故选：BC．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．32
如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，
将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，
从B或E处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，
可以判断只能从B或E处出发才能不重复走完7条路线，
由于对称性，只列出从B处出发的路线情形即可．
①走路线：,3126745,,3147625,,3157426，共6种；
②走路线：,4137625,,4267315,,4573126，共6种；
③走路线：,7543126,,7624315，共4种；
综上，共有种检测顺序．
故32
13．
由可知，，得，
所以,
又函数在上是增函数，
所以，即，所以，
所以，的可能取值为．
当时，由解得，
经检验，,6,10时不满足题意；
当时，由解得,
经检验，时满足题意．
所以，的可能取值为．
故
14．
若直线与双曲线有两个交点G,H,设G,H的中点为K，
联立方程组，整理得,
可得,则，
又由在直线上，可得，
所以，所以，
即直线l与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l的斜率之积为定值，
如图所示，取的中点M,N,
因为的重心P在中线上，的重心Q在中线上，
所以,可得，
即，
又由,可得，可得
因为,且的外心为，点R,则R为线段的中点，
可得，因为，所以，
所以，所以，
所以．
故．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
15．解：（1）当时，的定义域为,
，
令,则,解得,
令,则,解得．
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）令,则．
令，其中，
则．
令,解得,令,解得．
的单调递减区间为，单调递增区间为,
．
又,函数在上有两个零点，
的取值范围是．
16．解：（1）在中，E为线段的中点，且,所以,
所以为直角三角形，且，所以,
因为底面为平行四边形，,所以,
又因为四边形为矩形，所以,
因为平面平面,平面平面平面,
所以平面,
因为平面,所以,
因为平面,
所以平面．
（2）因为平面平面,所以,
由（1）知平面,又平面,所以,
所以两两垂直，
以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，
所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在中，,所以,
设,则,
所以,
易知平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
则,解得,
所以,
设平面的法向量为
则，令，则,
易知平面的一个法向量为,
则，
易知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．
17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：
由题意可得，
得．
易知a为5的倍数，且，所以,
所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有（人），
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，
．
X的分布列为：
所以．
18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．
又为椭圆C上一点，所以，
将代入，得,
所以椭圆C的标准方程为．
（2）因为B为A关于原点O的对称点，所以,直线的方程为．
设,则直线的方程为,
联立得，可得,
由点Q在椭圆内，易知，
不妨令,则，
所以．
又,
所以为常数，
则需满足为常数，
（此式为与t无关的常数，所以分子与分母对应成比例）
即，解得．
将代入，可得,得，
所以Q为的中点，
所以．
19．解：（1）设等比数列的公比为q．
若，则由①得,得,
由②得或．
若,由①得，,得,不可能．
综上所述，．
或．
（2）设等差数列的公差为d,
,
,
即,
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，
，
，即，
由得，即，
．
当时，同理可得，
即．
由得,即，
．
综上所述，当时，,
当时，．
（3）记中非负项和为A,负项和为B,则,
得，即．
若存在，使，由前面的证明过程知：
，且．
若数列为n阶“曼德拉数列”，
记数列的前k项和为,则．
，
又,
．
又，
，
，
又与不能同时成立，
∴数列不为n阶“曼德拉数列书体
楷书
行书
草书
隶书
篆书
人数
24
16
10
20
10
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
认真完成
不认真完成
总计
男生
a
女生
总计
60
20
80
X
0
1
2
3
4
P