湖南省岳阳市平江县2023_2024学年高二数学上学期期末试题

这是一份湖南省岳阳市平江县2023_2024学年高二数学上学期期末试题，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上,时量120分钟，满分150分.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
1．直线m的方程为，则直线m的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（−1，−2），11B．（−1，2），11C．（−1，−2）， D．（−1，2），
3．已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣﹣ B．﹣﹣﹣
C．﹣+﹣ D． +﹣
5．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
6．椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
7．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则（ ）
A．公差d的取值范围是（−∞，）B．2a7＝a9+2
C．a8+a4＞a6+a5D．a1+a9＝4
10．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝kx﹣2在y轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
11．对于非零空间向量，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．若，则，的夹角是锐角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝16
B．|MF|+2|NF|的最小值为3+2
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为4+
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．数列{an}的前n项和Sn＝2n2+n+1，则该数列的通项公式为 ．
14.过双曲线的左顶点，且与直线2x-y+1＝0平行的直线方程为 ．
15．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为 ．
16．正四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为 ．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2）．
（1）若（﹣）∥（+），求实数k的值；
（2）若（+3）⊥（+），求实数k的值．
18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当m＝0时，求直线l被圆C截得的弦长．
19．（12分）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2AB＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝．
（1）判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；
（2）求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
21.（12分）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（1）当时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处切线方程；
（2）当m≤2时，求证：f（x）＞0．
22．（12分）已知双曲线 的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求△QAB的面积的取值范围．
平江县2023年
下学期教学质量监测
高二数学答题卡
学校： 姓名： 班级：
第 考室 座位号：
注 意 事 项
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚。
2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框。
3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。
4.答题请勿超出限定区域。请勿折叠，保持卡面清洁。
此方框为缺考考生标记，由监考员用 2B 铅笔填涂
条形码粘贴区
正面朝上,请勿贴出实线框外
正确
填涂
示例
一、选择题（每小题5分，共40分） 二、选择题（每小题5分，共20分）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 14.
15. 16.
四、解答题（共70分）
17.(10分)
18.(12分)

19.(12分)
20.(12分)
21.(12分)
1 [ A] [ B] [ C] [ D]
5 [ A] [ B] [ C] [ D]
9 [ A] [ B] [ C] [ D]
2 [ A] [ B] [ C] [ D]
6 [ A] [ B] [ C] [ D]
10 [ A] [ B] [ C] [ D]
3 [ A] [ B] [ C] [ D]
7 [ A] [ B] [ C] [ D]
11 [ A] [ B] [ C] [ D]
4 [ A] [ B] [ C] [ D]
8 [ A] [ B] [ C] [ D]
12 [ A] [ B] [ C] [ D]

22.(12分)
平江县2023年下学期教学质量监测
高二数学参考答案与试题解析
一、选择题
填空题
13、 an＝14、2x﹣y+4＝0．15、6．16、
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
1．（选必一教材51页习题2.1第1题改编）直线m的方程为，则直线m的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
【分析】求出直线m的斜率，即可得出直线m的倾斜角．
【解答】解：设直线m的倾斜角为α，因为直线的斜率为，
所以，又∵0°≤α＜180°，因此α＝60°．故选：C．
【点评】本题考查了根据直线的斜率求倾斜角的值，属于易做题．
2．（选必一教材88页习题2.4第1题改编）圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．（−1，−2），11B．（−1，2），11C．（−1，−2），D．（−1，2），
【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，即可求解．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝11，
故圆心坐标为（﹣1，2），半径为．故选：D．
【点评】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题．
3．（选必二35页例题7改编）已知数列{an}是等比数列，若a1＝1，q＝2，Sn＝31，则n等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：因为数列{an}是等比数列，a1＝1，q＝2，
所以Sn＝＝31，则n＝5．故选：B．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．
4．（选必一第10页第5题原题）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．﹣﹣B．﹣﹣﹣C．﹣+﹣D．+﹣
【分析】由已知结合空间向量的线性运算求出即可判断．
【解答】解：因为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，＝，D1＝，＝，
所以＝＝﹣+＝﹣（）﹣+＝＝．故选：A．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
5．（选必二55页第3题（2）改编）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
【分析】由题意知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d，即可求出a1，由此能求出结果．
【解答】解：设从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{an}，
设冬至日的日影长为a1尺，公差为d尺，
∵冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，
∴，
解得a1＝13.5，d＝﹣1，
∴大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为：
a3+a6+a9＝3a1+15d＝25.5（尺）．
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的实际运用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（选必一145页第2题原题）椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）的（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
【分析】分别求出椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果．
【解答】解：椭圆＝1，可知a＝5，b＝3，c＝4，
∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是（±4，0）；离心率是：．
椭圆＝1（0＜k＜9）中，∵a＝，b＝，c＝4，
∴长轴长是2，短轴长是2；焦距是8；焦点坐标是（±4，0）；离心率是．∴椭圆＝1与椭圆＝1（0＜k＜9）关系为有相等的焦距．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的长轴、短轴、焦距、焦点坐标、离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
7．（选必一35页练习第2题改编）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线FC到平面AEC1的距离．
【解答】解：以D1为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则A（1，0，1），C（0，1，1），C1（0，1，0），E（1，，0），F（1，，1），
∴＝（0，，﹣1），＝（﹣1，，0），＝（﹣1，，0），＝（0，，0），＝（0，0，1），
∵＝（﹣1，，0），∴FC∥EC1，
∵FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1，
∴点F到平面AEC1的距离就是直线FC到平面AEC1的距离，
设平面AEC1的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，2，1），
∴直线FC到平面AEC1的距离d＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查点到平面的距离、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
8．（自创题：综合应用拓展）已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的动点，I和G分别是△PF1F2的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】如图所示，设P（m，n），不妨设m、n＞0．利用三角形重心性质可得G的坐标，根据IG平行x轴，可得yI．即三角形内切圆的半径为r＝yI．由三角形内切圆的性质可得：r（2a+2c）＝•2c•n．可得2c＝a，即可求解．
【解答】解：如图，设P（m，n）（m＞0，n＞0），则G（，），
因为IG与x轴平行，所以I的纵坐标为，即△PF1F2的内切圆的半径r＝，
则S＝＝，
所以3c＝a+c，
∴e＝，
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形内切圆的性质、三角形重心性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9.（选必二24页第1题改编）（5分）已知各项均为正数的等差数列{an}单调递增，且a5＝2，则（ ）
A．公差d的取值范围是（−∞，）B．2a7＝a9+2
C．a8+a4＞a6+a5D．a1+a9＝4
【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式分别检验各选项即可判断．
【解答】解：因为各项均为正数的等差数列{an}单调递增，
所以a1＞0，d＞0，
因为a5＝2，则a1＝2﹣4d＞0，
所以0＜d＜，A错误；
2a7﹣a9＝a5+a9﹣a9＝a5＝2，B正确；
a8+a4﹣a5﹣a6＝d＞0，
所以a8+a4＞a6+a5，C正确；
a1+a9＝2a5＝4，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
10.（选必二67第1，7,8题综合改编）（5分）下列说法中，正确的有（ ）
A．过点P（1，2）且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y﹣3＝0
B．直线y＝kx﹣2在y轴的截距是2
C．直线的倾斜角为30°
D．过点（5，4）且倾斜角为90°的直线方程为x﹣5＝0
【分析】对于A，分截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解；
对于B，结合截距的定义，即可求解；
对于C，先求出直线的斜率，再结合斜率与倾斜角的关系，即可求解；
对于D，根据已知条件，推得直线与x轴垂直，即可求解．
【解答】解：对于A，当截距为0时，可设直线方程为y＝kx，
直线过点P（1，2），
则直线为y＝2x，
当截距不为0时，可设直线方程为x+y＝a（a≠0），
直线过点P（1，2），
则1+2＝a，即a＝3，
故直线方程为x+y﹣3＝0，
综上所述，所求直线方程为2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0，故A错误；
对于B，直线y＝kx﹣2在y轴的截距是﹣2，故B错误；
对于C，直线的斜率为，
则直线的的倾斜角为30°，故C正确；
对于D，直线的倾斜角为90°，
则直线的斜率不存在，
直线过点（5，4），
故所求直线的方程为x＝5，即x﹣5＝0，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查直线的截距式方程，以及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
11.（选必一第一章基本知识自创题）（5分）对于非零空间向量，，，现给出下列命题，其中为真命题的是（ ）
A．若，则，的夹角是锐角
B．若，，则
C．若，则
D．若，，，则，，可以作为空间中的一组基底
【分析】对于A，未排除夹角为0时的情况，
对于B，结合向量垂直的性质，即可求解，
对于C，根据向量数量积的定义，即可求解，
对于D，验证三者向量是否共面，即可求解．
【解答】对于A，若共线且同方向，
则，但夹角为0，故A错误，
对于B，，
故，故B正确，
对于C，根据向量的数量积定义知，时，不一定成立，故C错误，
对于D，假设0＝λ，0＝λ+2μ，3＝0，矛盾，
所以向量不共面，则可以作为空间中的一组基底，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
12（圆锥曲线压轴自创题）（5分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，直线l过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线l的斜率为，则|MN|＝16
B．|MF|+2|NF|的最小值为3+2
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为（0，），则点M的横坐标为
D．若点G（2，2），则△GFM周长的最小值为4+
【分析】首先求出抛物线的解析式，设出MN方程，与抛物线方程联立进行求解，当时，|MN|＝16，进而判断选项A；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断选项B；画出大致图像过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，结合抛物线定义判断选项C；过G作GH垂直于准线，垂足为H，结合△GFM的周长为进而判断选项D即可．
【解答】由抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆O：x2+y2＝5交于A，B两点，且|AB|＝4，
得到第一象限交点（1，2）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，
所以22＝2p，解得p＝2，所以C：y2＝4x，则F（1，0），
对于A选项，设直线l：x＝my+1，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以，
当直线l的斜率为时，，故A项正确；
对于B选项，由抛物线的定义，＝，
所以，
当且仅当时等号成立，故B项正确；
对于C选项，如图，过点M作准线的垂线，垂足为M′，交y轴于M1，
取MF的中点为D，过点D作y轴的垂线，垂足为D1，
则MM1∥OF，DD1是梯形OFMM1的中位线，
由抛物线的定义可得|MM1|＝|MM′|﹣|M1M′|＝|MF|﹣1，
所以，
所以以MF为直径的圆与y轴相切，
所以为圆与y轴的切点，所以点D的纵坐标为，
又因为D为MF的中点，所以点M的纵坐标为，
又点M在抛物线上，所以点M的横坐标为，故C项正确；
对于D选项，过G作GH垂直于准线，垂足为H，
所以△GFM的周长为，
当且仅当点M的坐标为（1，2）时取等号，故D项错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（选必二8页练习第4题改编）数列{an}的前n项和Sn＝2n2+n+1，则该数列的通项公式为 an＝
【分析】根据数列的递推式，令n＝1，n≥2，利用an＝Sn﹣Sn﹣1，即可得出答案．
【解答】解：∵Sn＝2n2+n+1①，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2+1+1＝4，当n≥2时，Sn﹣1＝2（n﹣1）2+n②，
∴由①﹣②得an＝Sn﹣Sn﹣1＝4n﹣1，当n＝1时，a1＝3≠4，∴an＝．
【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（自创题）过双曲线的左顶点，且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为 2x﹣y+4＝0 ．
【分析】由双曲线方程确定顶点坐标，根据直线平行确定斜率，应用点斜式写出直线方程．
【解答】由双曲线方程知，其左顶点为（﹣2，0），
根据直线平行关系知，所求直线的斜率为2，所以所求直线为y＝2（x+2），则2x﹣y+4＝0．故答案为：2x﹣y+4＝0．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质，考查了两直线平行的斜率关系，属于基础题．
15．（选必二104页第9题原题）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝2处有极大值，则c的值为
【分析】对函数f（x）＝x（x﹣c）2求导，利用函数的导函数与极值的关系，令导函数等于0即可解出c的值．
【解答】解：f′（x）＝（x﹣c）2+2x（x﹣c），f′（2）＝（2﹣c）2+2×2（2﹣c）＝0，
解得c＝6或2，验证知当c＝2时，函数在x＝2处有极小值，舍去，故c＝6．
16．（拓展自创题）正四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为边长为2的正方形，，其内切球为球G，平面α过AD与棱PB，PC分别交于点M，N，且与平面ABCD所成二面角为30°，则平面α截球G所得的图形的面积为 ．
【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用等体积法求出内切球的半径，即可得到球心的坐标，设平面α的法向量，利用向量的夹角公式表示出二面角的余弦值，求解a的值，从而得到球心到平面α的距离，即可求出平面α截球G所得的图形的面积．
【解答】解：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），
因为PA＝PD＝PB＝PC＝，AO＝＝，
故PO＝，
所以P（1，1，），O（1，1，0），
则内切球的球心G在PO上，
设G（1，1，R），内切球的半径为R，
所以S△PAD＝S△PCD＝S△PBC＝S△PAB＝，
由等体积法可得，，
解得，则，
因为平面α过直线AD，
设平面α的法向量为，
又平面ABCD的法向量为，
设平面α与平面ABCD所成的二面角为θ，
则，即，解得a＝或a＝（舍），
故，
所以圆心G到平面α的距离为d＝，
故平面α截球G所得的图形的面积为πR2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了二面角的理解与应用，平面截球所得图形的面积问题，等体积法求解内切球半径的应用，点到平面距离的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（选必一22页练习第2题改编）已知＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2）．
（1）若（﹣）∥（+），求实数k的值；
（2）若（+3）⊥（+），求实数k的值．
【分析】（1）先求出＝（3，﹣1﹣k，﹣6），＝（1，k﹣1，﹣2），再根据向量平行的性质求解即可．
（2）先求出（+3）＝（﹣1，3k﹣1，2），（+）＝（1，k﹣1，﹣2），再根据数量积为零求解即可．
【解答】解：（1）∵＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2），
∴＝（3，﹣1﹣k，﹣6），＝（1，k﹣1，﹣2）．
∵（﹣）∥（+），∴，解得k＝．分
（2）∵＝（2，﹣1，﹣4），＝（﹣1，k，2），
∴（+3）＝（﹣1，3k﹣1，2），（+）＝（1，k﹣1，﹣2）．
∵（+3）⊥（+），∴（+3）•（+）＝0，
即（﹣1）×1+（3k﹣1）×（k﹣1）+2×（﹣2）＝0，解得k＝﹣或k＝2．分
【点评】本题主要考查向量平行和垂直运算，属于基础题．
18．（选必一103页20题改编）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R）．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当m＝0时，求直线l被圆C截得的弦长．
【分析】（1）根据直线过定点的知识证得结论成立．
（2）根据点到直线的距离公式以及勾股定理求得弦长．
【解答】（1）证明：依题意直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0（m∈R），
整理得l：（2x+y﹣7）m+x+y﹣4＝0，由，解得，
所以l恒过定点（3，1）．分
（2）当m＝0时，直线l：x+y﹣4＝0，
圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25的圆心为（1，2），半径为5，
（1，2）到直线l：x+y﹣4＝0的距离为，
所以直线l被圆C截得的弦长为．分
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（选必二41页第11题原题）已知数列{an}的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列．
（2）若，求满足条件的最大整数n．
【分析】（1）把已知数列递推式两边取倒数，变形即可证明数列为等比数列；
（2）由（1）求得数列{}的通项公式，求和后利用数列的函数特性求解满足的最大整数n．
【解答】（1）证明：由，得，分
则，又，，
∴数列是以为首项，以为公比的等比数列；分
（2）解：由（1）可得，，∴，
则＝
＝2×+n＝1﹣．
由，得＜100，
即＜99，
∵y＝为单调增函数，∴满足＜99的最大正整数n为99．分
即满足条件的最大整数n＝99．
【点评】本题考查数列递推式及等比数列的证明，考查等比数列的通项公式及前n项和，考查数列的函数特性，属于中档题．
20．（结合选必一49页12题和15题自创题）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2AB＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝．
（1）判断直线BC与平面PAD的位置关系，并证明；
（2）求平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
【分析】（1）直线BC∥平面PAD，延长AB、DC，交于点M，证明BC∥AD，即可证明直线BC∥平面PAD．
（2）分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，分别求出平面PAB、平面PBC的一个法向量，即可计算平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值．
【解答】解：（1）直线BC∥平面PAD，证明如下：
延长AB、DC，交于点M，因为PA＝AD＝2AB＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝，
所以AM＝DM，所以BM＝CM，所以BC∥AD，
又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以直线BC∥平面PAD．分
（2）分别以AD、AP为y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，0，0），B（，1，0），P（0，0，4），C（，3，0），
＝（，1，0），＝（0，0，4），＝（，1，﹣4），＝（0，2，0），
设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝1，则y＝﹣，z＝0，所以平面PAB的一个法向量为＝（1，﹣，0）；
设平面PBC的法向量为＝（a，b，c），则，即，
令a＝1，则b＝0，c＝，所以平面PBC的一个法向量为＝（1，0，），
计算cs＜，＞＝＝＝，
所以平面PAB与平面PBC所成二面角α余弦值的绝对值为．分
【点评】本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了二面角的余弦值计算问题，以及运算求解能力，是中档题．
21．（选必二104页第18题改编）已知函数f（x）＝ex﹣ln（x+m）．
（1）当时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处切线方程；
（2）当m≤2时，求证：f（x）＞0．
【分析】（1）代入求导 ，计算f′（0）和f（0）的值，即可得到切线斜率和切点坐标，最后用点斜式得切线方程并化简； （2）求出导函数，再利用导数确定f′（x）的单调性，从而确定f′（x）的零点 x0 存在，得出其为极小值点，由 f'（x0）＝0 得 x0，m间的关系，代入f（x0） 变形，然后由基本不等式结合已知条件得证结论．
【解答】解：（1）当m＝时，f（x）＝ex+ln（x+），
f′（x）＝ex﹣＝ex﹣，切线的斜率f′（0）＝1﹣2＝﹣1，又f（0）＝1+ln2，
所以f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x+y﹣1﹣ln2＝0；分
（2）证明：f′（x）＝ex﹣单调递增，
f（x）的定义域为 （﹣m，+∞），，设，
则，故f′（x）是增函数，当x→﹣m时，f′（x）→﹣∞，x→+∞时，f′（x）→+∞，
所以存在x0∈（﹣m，+∞），使得 ①，且x∈（﹣m，x0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（x0，+∞） 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故（x）min＝f（x0）＝ex0﹣ln（x0+m） ②，由
①式得x0＝﹣ln（x0+m） ③，①③两式代入②式，结合m≤2 得：
，
当且仅当x0＝1﹣m时取等号，结合②式可知，此时f（x0）＝ex0＞0，故f（x）＞0恒成立．分
【点评】本题考查导数的综合应用，考查恒成立问题，属于中档题．
22．（自创压轴题）（12分）已知双曲线的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为30．
（1）求双曲线C的方程；
（2）经过点F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，与y轴交于P点，点P关于原点的对称点为点Q，求△QAB的面积的取值范围．
【分析】（1）由双曲线C的焦点F为抛物线的焦点，一条渐近线的倾斜角为30°，列方程组，解得a，b，即可求得双曲线方程；
（2）设直线方程为：y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算S△QAB，利用配方法可得答案．
【解答】（1）解：抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0），由题意得c＝2，
，又c2＝a2+b2，
解得a2＝3，b2＝1，
∴双曲线C的方程为：；分
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：y＝k（x﹣2），得P（0，﹣2k），Q（0，2k），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，整理可得（3k2﹣1）x2﹣12k2x+12k2+3＝0．
，，
∴S△QAB＝|S△QPB﹣S△QPA|＝|PQ||x1﹣x2|＝2|k||x1﹣x2|，
∴＝＝，
∵直线与双曲线右支有两个交点，∴k∈（﹣∞，﹣）∪（），即3k2＞1，
设t＝3k2﹣1＞0，则＝48•＝＞＝，
∴S△QAB＞．
即△QAB的面积的取值范围是（，+∞）．分
【点评】本题考查双曲线的方程，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
A
A
D
A
A
BCD
CD
BD
ABC