湖南省岳阳市平江县2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

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考生注意：所有答案请务必填写在答题卡上,时量 120 分钟，满分 150 分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.（选择性必修一p132例1改编）抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】【分析】解出p=4,即可求出准线方程.
【详解】因为，所以，抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以准线方程为.
2.（选择性必修一p22练习2） 已知，，且，则（ ）．
A.B. C. D.
【答案】C.
【解析】【分析】解方程即得解.
【详解】因为，所以，所以，所以.
3. （选择性必修一p102第1题改编）直线=0的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.
【详解】因为直线=0的斜率为，所以直线的一个方向向量为，
又因为与共线，所以=0的一个方向向量可以是，故选：B.
4.（选择性必修二p37第1题改编）已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A.1或 B. 12或3 C.12 D.
【答案】B
【解析】【分析】分公比，两类进行讨论.
【详解】设等比数列的公比为，因为
当时，可得，此时，满足题意；
当时，可得，解得.故选：A
5.（选择性必修二p104练习13改编）函数在点处的切线方程为（ ）．
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程.
【详解】解：的导数为y′＝1，
曲线在x＝1处的切线斜率为k＝2，
则曲线在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．
故这个函数的图象在处的切线方程为y＝2x﹣1. 故选：B
6.如图，空间四边形中,，，，点在上，且，点为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】【分析】利用空间向量运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
7.（选择性必修第一册p102练习2改）已知直线，，若，则（ ）
A. B. C. D
【答案】D
【解析】【分析】可得满足，时，；
【详解】当时，方程化为，方程化为，此时两直线平行，符合题意；
当时，要使直线平行，则满足，解得，
这是或；故选：D
8．已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求导可得，再根据是的唯一极小值点可得恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可.
【详解】求导有.
设，则，
故当时，单调递减；时，单调递增.
故若有两个零点，则必有一根，则此时有时；时，故为的极小值点，与题意不符.
故恒成立，故，即，解得.
故选：D
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.（选择性必修二p23例9改编）数列的前项和，则（ ）
A． B．
C．当或6时，数列有最小项 D．是等差数列
【答案】ABD
【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D.
【详解】对于A：因为，当时，故A正确；
对于B：当时，
所以，
经检验时也成立，所以，故B正确；
对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，
即数列有最大项，故C错误；
对于D：因为，则，又，
所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.
故选：ABD
10．（选择性必修第一册p120练习3，127练习7综合改编）已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（ ）
A．曲线C可以是圆B．若，则曲线C为椭圆
C．曲线C可以表示抛物线D．若曲线C为双曲线，则
【答案】AD
【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断．
【详解】对于A，若曲线C是圆，则，解得，A正确；
对于B，由选项A知，当时，曲线C是圆，不是椭圆，B错误；
对于C，曲线C有两条对称轴，不可能为抛物线，C错误；
对于D，若曲线C为双曲线，则，解得，D正确.
故选：AD
11.已知正方体的棱长为分别是棱和的中点，是棱上的一点，是正方形内一动点，且点到直线与直线的距离相等，则（ ）
A． B．点到直线的距离为
C．存在点，使得平面 D．动点在一条抛物线上运动
【答案】AD
【分析】建立空间直角坐标系，选项A，利用向量法来证明线线垂直，通过计算得到，即可判断出选项A的正误；选项B，先计算出在方向上的投影向量的模为，再利用点到线的距离的向量法即可得出结果，从而判断出选项的正误；选项C，先求出平面的一个法向量为和，再判断是否存在使，即可判断出选项的正误；选项D，根据条件得出点到直线的距离即点到点的距离，再利用抛物线的定义即可求出结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
对于选项A，易知，设，
所以，又，
得到，所以，故选项A正确；
对于选项，因为，所以，又，
则在方向上的投影向量的模为，又，
所以点到直线的距离为，故选项B错误；
对于选项C，设平面的一个法向量为，
由选项A知，，，由，得到，
取，所以平面的一个法向量为，
由，得到，
所以不存在点，使得平面，故选项C错误；
对于选项D，因为平面平面，所以，
所以点到直线的距离即点到点的距离，又点到直线与直线的距离相等，
即点到点的距离等于点到直线的距离，又面，面，
由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，所在直线为准线的抛物线的一部分，故选项正确，
故选：AD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.（选择性必修第二册p23练习3改编）在等差数列中，为其前n项的和，若,则= ．
【答案】42
【解析】【分析】由已知列出方程求出首项和公差即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则，解得，则.
13.（选择性必修第一册p103练习12）已知直线和，两点，P为直
线l上一点P，则最小值为 ．
【答案】12
【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求关于直线的对称点得解
【详解】因为，所以在直线同侧，设点关于直线对称的点坐标为，则，即，
可知，即三点共线时，最小，直线方程，所以的最小值为12.
14.．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，E上存在点P，使得，且的内切圆与y轴相切，则E的离心率为 .
【答案】/
【分析】
根据向量的运算得到，然后利用双曲线的性质和三角形内切圆的几何关系得到有关的方程求解即可.
【详解】
不妨设点在第一象限，
因为，所以，
所以，，
又，联立可得：，
所以，即，
设的内切圆半径为，过圆心往三边作垂线，垂足分别为，如图所示，

因为的内切圆与y轴相切，故，
，，
所以，
即，即，
两边平方得，
即，则，
两边同时除以，得，解得，
因为，所以.
故答案为：.
【点睛】
关键点睛：本题考查双曲线中三角形内切圆和离心率相关问题的求解，解题关键是能够利用三角形内切圆的知识点结合双曲线的性质，求得之间的等量关系从而求得结果.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（选择性必修第一册p96例5改编）已知圆，圆，
（1）证明圆与圆相交；
（2）求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长。
【答案】证明见解析，公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为
【解析】
【分析】依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果；将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程.
【详解】（1）把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半
径．
把圆的方程化成标准方程，得，圆的圆心是，半径．
圆与圆的连心线的长为．
圆与圆的两半径之和，两半径长之差．
因为，即，所以圆与圆相交.
将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为.
圆的标准方程为，圆的圆心是，半径．
圆心到公共弦的距离，故公共弦.
16.在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，为等边三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，E是AD的中点.
（1）判断直线BE与平面PAD的位置关系，并证明;
（2）求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．
【解答】证明：(1)BE⊥平面PAD，证明如下：
（连接BD，因为为等边三角形，E是AD的中点，所以PE⊥AD，
由平面PAD⊥平面ABCD，可得PE⊥平面ABCD，PE⊥BE，
又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，
∴BE⊥AD，∴BE⊥平面PAD．
解：（3）以E为原点，EA，EB，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，），A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣2，，0），
（1，0，），（0，），（﹣2，），
令平面PAB的法向量为，则，取y＝1，得，
同理可得平面PBC的一个法向量为（0，1，1），
所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为：
|cs|．
17.（选择性必修第一册p114例7，116练习13改编）已知椭圆C：的焦距为8，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线与C交于A、B两点，点P为椭圆上任意一点，求△PAB的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点P的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点P到直线AB的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)根据题意，即，又，所以，因为，所以
所以椭圆C的标准方程为：．
（2）由方程组
消去y，得 ． ①
设，，，，可得:
则
设与直线AB平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AB距离比较远的直线与椭圆的切点为P，此时△PAB的面积取得最大值.

由方程组
消去y，得
． ②
方程①的根的判别式
．
由，得，．此时方程②有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
与AB距离比较远的直线方程：，
直线AB方程为：
点P到直线AB的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
所以△PAB的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
18.(选择性必修第二册p104练习19改编). 已知函数
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）最大值-2.无最小值，（2）见解析；（3）.
【解析】【详解】试题分析：（2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（3）根据第（2）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.
试题解析：（1）当时，，则在区间上单调递减，
所以，无最小值.
（2）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递
减，在单调递增.
（3）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
③当时，，即.
又，故在有一个零点.
设正整数满足，则.
由于，因此在有一个零点.
综上，的取值范围为.
点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.
19．数列、满足：是等比数列，，，且．
(1)求数列、的通项公式.
(2)求集合中所有元素的和．
(3)对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试别断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)是“和稳定数列”， 不是“和稳定数列”，详细见解析.
【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式，根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式；
（2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果；
（3）根据“和稳定数列”的定义可判定.
【详解】（1）根据题意可知，所有可得，
又因是等比数列，所以设的公比为，则，
所以，
因①
当时，②
①式减去②式可得
将，可得
将之化简可得，
所以数列是为首项，公差为的等差数列，
故.
（2）由题意知集合，
则化简转化为，
设，
且解之可得
所以集合A所有元素之和为；
【小问3详解】
①解：当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
②解：数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，且
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.