2024-2025学年山东省高二下学期校际联考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省高二下学期校际联考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数fx=lnx，则lim△x→0f1+△x−f12△x=( )
A. 12B. 1C. 2D. 4
2.曲线fx=x+1ex在点0,1处的切线的斜率为( )
A. −1B. −12C. 1D. 2
3.已知定义域为−3,5的函数fx的导函数为f′x且f′x的图象如图所示，则下列判断中正确的( )
A. fx在3,5上单调递增B. fx有极大值f4
C. fx有3个极值点D. fx在x=1处取得最大值
4.已知函数fx=f′π6csx−sinx，则f′π6=( )
A. −13B. 33C. − 33D. 13
5.若函数fx=ln2x−1+12x2−mx在1,2上有两个不同的极值点，则实数m的取值范围( )
A. 3,83B. 52,3C. 52,3D. 52,83
6.为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，某学校5月份组织部分学生参与“地图上的青运史”打卡活动，计划一天内参观完①山东省建团纪念馆、②王尽美邓恩铭雕像纪念广场、③“四五”烈士纪念碑、④泺口九烈士纪念碑、⑤中共济南乡师党史陈列室、⑥山东省团校这6个地方．结合实际对参观路线顺序的规划如下：去②⑤参观的顺序相邻且去①参观在去③和⑥参观的前面(不一定相邻)，则不同的参观安排种数是( )
A. 60B. 80C. 120D. 240
7.已知a=e12025−1，b=ln20262025，c=24051则( )
A. c>a>bB. a>b>cC. a>c>bD. c>b>a
8.定义在0,+∞的函数fx的导函数为f′x，已知xf′x−fx=x3且f1=0，则下列结论正确的是( )
A. fx在0,+∞单调递增B. fx在0,+∞单调递减
C. fx在0,+∞上有极小值D. fx在0,+∞上有极大值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数fx=13x3−4x+6则( )
A. fx有两个极值点
B. fx有3个零点
C. 点0,6是曲线y=fx的对称中心
D. 直线x+y−6=0是曲线y=fx的切线
10.排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是( )
A. Cnm=nCn−1m−1B. Anm=n An−1m−1
C. Cm+r+1r= ri=0 Cm+iiD. ni=0 (Cni)2=C2nn
11.帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数fx在x=0处的m,n阶帕德近似定义为：Rx=a0+a1x+⋯+amxm1+b1x+⋯+bnxn，且满足：f0=R0，f′0=R′0，f′′0=R′′0，⋯⋯，fm+n0=Rm+n0，注：f′′x=f′x′，f′′′x=f′′x′，f4x=f′′′x′，f5x=f4x′，⋯⋯则下列结论正确的是( )
A. 若函数fx在x=0处的1,1阶帕德近似为Rx，则f0=R0，f′0=R′0，f′′0=R′′0
B. 函数fx=lnx+1在x=0处的1,1阶帕德近似Rx=xx+2
C. ln1.1≈0.095
D. 函数fx=lnx+1在x=0处的1,1阶帕德近似为Rx，当x≥0时，fx≥Rx
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 .(用数字作答)
13.过P2,nn>0可作y=xlnx的2条切线，那么n的取值范围为 ．
14.如果存在函数gx=−a x+b(a,b为常数)，使得对函数fx在区间0,+∞内任意的x都有fx≤gx成立，那么gx为函数fx的一个“覆盖函数”.已知fx=− xlnx−x，gx=−a x+3，若gx为函数fx在区间0,+∞上的一个“覆盖函数”，则实数a的取值范围 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知fx=13x3+ax2+2a+4bx+b2−b−2a,b∈R．
(1)若f0=0，且fx在x=2处取得极值，求a，b的值；
(2)当b=0时，若fx在1,+∞上单调递增，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
宇树科技机器人亮相春晚，春晚舞蹈《秧BOT》火爆全球，某学校为提高学生的动手能力，培养创新型人才，购买了标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9共9种型号的零件若干让同学们进行随意拼装．
(1)甲同学从这9种型号的零件中任选两种型号的零件，选择的两种型号的数字之差的绝对值不超过3(不计两个数字的顺序)，则甲有多少种选择？
(2)现将9种型号的零件全部分给甲乙丙三个小组对零件进行测试，每组至少2种类型的零件，一共有多少种分配方法？
(注：要写出算式，结果用数字表示)
17.(本小题15分)
已知函数fx=ex−ax2(a为常数)．
(1)若fx有3个零点，求a的范围；
(2)证明：fx+ax2>x3−2x2lnx+x2．
18.(本小题17分)
已知函数fx=lnx+1−axx+1，a∈R．
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)fx≥0，求a的值；
(3)对于任意的n∈N∗，求证：i=1n1i+11，函数fx有两个不同的零点，设x1为fx的一个零点，x0为fx的极值点，且x1+1>0，证明：x1−20，
即证exx2=exelnx2=ex−2lnx>x−2lnx+1，
令t=x−2lnx，易知t′=x−2x，
所以t=x−2lnx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增，
即t≥2−2ln2>0，
令gt=et−t−1t≥2−2ln2，则g′t=et−1>0，
所以gt在0,+∞上单调递增，即gt≥g2−2ln2>g0=0，
则et>t+1，则ex−2lnx>x−2lnx+1，
得证．

18.(1)由题设f′x=1x+1−a(x+1)2=x+1−a(x+1)2且x>−1，
当a≤0时，f′x>0，即fx在(−1,+∞)上单调递增；
当a>0时，令f′x=0，则x=a−1，
若−10，则lnx+1>xx+1，
令x=1i,i∈N∗，则ln1i+1=ln(i+1)−lni>1i+1，
所以ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n+1)−lnn=ln(n+1)>i=1n1i+1，得证．

19.(1)由fx=alnx+2−x+1ex得fx的定义域为−2,+∞，
f′x=ax+2−ex+x+1ex=ax+2−x+2ex=a−x+22exx+2，f′0=a−42，
由gx=xex得，g′x=ex+xex=1+xex，则g′0=1，
因为fx与函数gx=xex在x=0处的切线互相垂直，
所以f′0⋅g′0=a−42=−1，解得a=2；
(2)当a=4时，由(1)得，f′x=4−x+22exx+2，
令ℎx=4−x+22ex，x>−2，
则ℎ′x=−2x+2ex+x+22ex=−x+2x+4ex0，即f′x>0，所以fx在−2,0单调递增；
当x∈0,+∞时，ℎx