中考数学一轮复习备考知识清单22 圆的有关概念及性质

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单22 圆的有关概念及性质，共5页。学案主要包含了方法总结，解法通法等内容，欢迎下载使用。
圆的有关概念和性质
圆心角、弧、弦之间的关系
【注意】
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同，与对应的圆心角相等，但，
（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”.
【重点】
（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或同为劣弧）、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（2）涉及弦心距的问题，往往需要过圆心向弦引垂线.
垂径定理及其推论
【注意】
（1）定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段.
（2）推论中“平分弦”中的“弦”一定不能是直径，否则结论不一定成立.如图所示，当弦为直径时，直径平分弦，但结论不成立.
【重点】
（1）在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么它一定具备其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简称“知二推三”.
（2）利用垂径定理及其推论进行计算时，常涉及弦长，弦心距（圆心到先的距离），半径及弓形高（弦所对的弧的中点到弦中点的距离），如图所示，它们之间的关系时
圆周角定理及其推论
【注意】定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系起来的，故不能把“一条弧所对的”去掉.
【重点】
（1）因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补.如图所示，都是弦所对的圆周角.在弦的同侧，则；在弦的异侧，则.
圆内接多边形
1.圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
【注意】每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
【拓展】圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.
方法点拨
1.解垂径定理及其应用的问题
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧与劣弧）.在应用垂径定理及其推论进行计算时，通常利用圆的半径，弦心距，拱高，弦长这几个量来构造直角三角形，然后利用勾股定理及来求有关量.根据上述公式，在这些量中，知道其中任何两个量就可以求出其余两个量.
在圆中，一般利用垂径定理，过圆心作弦的垂线段，连接半径，把半径、垂线段及弦的一半构造在一个之间三角形中，以便运用勾股定理求解.
【总结】
把垂径定理及其推论结合起来，若一条直线具有如下5条性质：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（被平分的弦不是直径）；④平分弦所对的弧；⑤平分弦所对的优弧.如果以其中的2条作为条件，那么就可以得到另3条作为结论（简称“知二”）
2.解圆心角、弧、弦之间关系的应用问题
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等于角相等之间的相互转化.
【方法总结】
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.
【解法通法】证弧、弦、圆心角及弦心距关系常用的作辅助线的方法
在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法.
3.解圆周角定理的应用问题
（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化；（2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；（3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角.
【敲黑板】
（1）因为圆中一条弦所对的圆周角的大小有两种情况，所以不能根据弦相等得到圆周角相等.
（2）在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧相等，异侧互补.如图所示，都是弦所对的圆周角.在弦的同侧，则在弦的异侧，则.
4.与圆的轴对称有关的多解问题
圆是轴对称图形，当题目中没有明确说明点在圆上的具体位置或弦与弦的具体位置时，应注意分情况进行讨论.
5.解圆的内接四边形问题
主要是根据圆内接四边形对角互补及圆内接四边形的每个外角等于它的内对角这些性质求解.
【注意】每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
圆的定义
平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合，其中定点为圆心，定长为半径
确定圆的条件
过不在同一直线上的三点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个
圆的对称性
（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；
（2）圆是中心对称图形，圆心是对称中心；
（3）圆具有旋转不变性
有关概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦（线段）
直径
经过圆心的弦叫做直径（线段），直径是园中最长的弦
弧
圆上任意两点间的部分叫圆弧
等弧
同圆或等圆中，能够互相重合的弧
圆心角
顶点在圆心的角（如）
圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角（如）
名称
文字语言
符号语言
图示
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
重要结论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等
名称
文字语言
符号语言
图示
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展
平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
名称
文字语言
符号语言
图示
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
是所对的一个圆周角，是所对的圆心角，那么
推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
都是所对的圆周角，那么
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
若为直径，则；若或，则为直径.