中考数学一轮复习备考知识清单16 图形的相似与位似

这是一份中考数学一轮复习备考知识清单16 图形的相似与位似，共11页。学案主要包含了比例线段的相关概念及性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定，相似三角形的性质等内容，欢迎下载使用。
平行线分线段成比例定理
一、比例线段的相关概念及性质
线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫作这两条线段的比.
【注意】两条线段的比，与所选的长度单位无关，但所选的长度单位必须一致，其值是一个没有单位的正数.
四条线段成比例：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.
【注意】
（1）成比例线段是有顺序的，即若是成比例线段，则（或），不能写成.
（2）在运用计算时，通常情况下，四条线段的长度单位要一致，但有时为了计算方便，的长度单位一致，的长度单位一致也可以.
比例的相关性质：
（1）基本性质：若，则.
（2）合比性质：若，则.
（3）分比性质：若，则.
（4）等比性质：若，则.
黄金分割线
在线段上，点把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金分割点，与的比叫作黄金比，黄金比为，线段有两个黄金分割点和.
二、平行线分线段成比例
平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截。所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，直线，直线被直线，，所截，那么
，可简记为：.
【注意】（1）对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上.
（2）基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.
平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，，或或.
三角形相似的判定与性质
一、相似图形
相似图形：我们把形状相同的图形叫作相似图形.
【注意】
（1）两个图形是否相似与图形的大小、位置无关.
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
（3）全等图形是特殊的相似图形，也就是说全等图形一定是相似图形，但相似图形不一定是全等图形.
二、相似多边形
相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.
【注意】两个多边形相似，必须同时具备三个条件：（1）边数相同；（2）角分别相等；（3）边成比例.
相似比：相似多边形对应边的比叫作相似比.
【注意】相似比的值与两个多边形的顺序有关.例如，若四边形与四边形的相似比为3，则四边形与四边形的相似比为.
相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
【注意】
（1）相似多边形的对应角相等，但相等的两个角未必是对应角，要结合图形去观察它们之间的对应关系.
（2）相似多边形的定义可用来判断两个多边是否相似.
（3）相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数.
三、相似三角形的判定
1.利用平行线判定两个三角形相似的定理
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如图所示，，.
【注意】
（1）定理中“和其他两边相交”是指和其他两边所在的直线相交.
（2）如图，利用此定理判定两个三角形相似时，只需这一条件就能确定，其推理形式为：，.
2.利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,且，.
【注意】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角.
3.应用三边判定两个三角形相似的定理
定理：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，，.
【注意】利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据最长边与最长边对应，最短边与最短边对应的思路找对应边.
4.利用两角判定两个三角形相似的定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,.
【注意】利用此定理证明两个三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角（等角）的余角（补角）、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
5.直角三角形相似的判定方法
①一个锐角相等的两个直角三角形相似；
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似；
③斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.
四、相似三角形的性质
1.根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.
已知，且相似比为，由相似三角形的判定定理和相似三角形的定义可以证明对应线段的比等于相似比，具体如下表：
【注意】在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.
3.相似三角形周长的比等于相似比.
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
5.应用
位似
方法点拨
1.成比例线段问题
对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.
其主要性质有：
（1）基本性质：如果，那么.（如果，那么）
（2）合分比性质：如果，那么.
（3）等比性质：如果，那么.
解决成比例线段问题的主要依据是比例的相关性质.
【方法总结】利用比例的性质求代数式的值的方法
利用比例的性质进行计算时，有两种常用方法：（1）用含有一个字母的代数式表示其他字母，然后代入求值；（2）参数法，即先根据比例式设出合适的参数，然后用含此参数的代数式表示出相应的字母，再代入求值.
2.与黄金分割有关的问题
如图所示，点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金分割点，黄金比.
用黄金分割解决实际问题常用到黄金比，即较长线段：全线段.
【注意】
一条线段的黄金分割点有两个，这两个黄金分割点关于线段中点对称.
3.解相似三角形的判定问题
相似三角形的判定方法：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理.（2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
（1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
（2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
（3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
（4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例.
解决相似三角形的判定问题时，要根据题目中的已知条件或隐含条件选择合适的判定方法.
【注意】
两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，但是两组对应边成比例且除夹角之外的任一组角相等时，这两个三角形不一定相似.
4.利用相似三角形证明等积式的步骤
（1）将等积式转化为比例式.
（2）观察比例式中的线段是否分别在两个形状相同的三角形中（可采用三点定形法；也可在图中标出这些线段，通过观察确定），若在两个形状相同的三角形中，可证明这两个三角形相似，若不在两个形状相同的三角形中，可利用如下方法转化：①等线段转化；②中间比转化；③添加辅助线构造相似三角形转化.
（3）根据相似三角形对应边成比例或中间的转化得到比例式，再化为等积式.
5.解运用相似三角形性质的问题
解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质：
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等比相似比.
（3）相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比.
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似多边形面积的比等于相似比的平方.
在三角形中求边长或面积时，常常运用相似三角形的这些性质解决问题.
【方法总结】
遇到面积关系问题时，若两个三角形相似，则面积比等于相似比的平方；若两个三角形不相似但等底（或等高），则等底（或等高）的两个三角形的面积比等于对应高（或底）的比.
6.解位似图形问题
如果两个平面图形不仅相似，而且对应顶点的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，这时的相似比又叫作位似比.
位似图形具有下列性质：
（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点.
（3）位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例.
（4）位似图形的对应角相等.
【易错警示】对位似图形的定义掌握不牢致错
在判断与是不是位似图形时，容易出现只考虑两个三角形的对应顶点的连线相交于同一点，而没有证明两个三角形相似的情况.如图所示，虽然与对应顶点的连线相交于一点，但是两个三角形不是相似三角形，显然不是位似图形.
【技巧点拨】找位似中心的方法
位似图形中对应顶点所在的直线相交于位似中心.利用这一性质，只要用直尺把位似图形中的对应顶点所在直线的交点找出来，即可找到位似中心.在此类题中，要注意相关线段的长度与点的坐标之间的相互转化.
7.解位似图形的画图问题
作位似图形就是将一个平面图形进行放大或缩小，其依据是位似图形的性质，即位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.因此，作位似图形有两个要点：一是位似中心（位似中心位于对应点的连线所在的直线上）；二是相似比.
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或.
【方法总结】
利用网格画位似图形时，要先根据位似中心确定关键点的对应点，再画出位似图形，位似图形面积之比等于相似比的平方.
8.解相似三角形的实际应用问题
运用相似三角形解决实际问题时，主要是运用相似三角形的性质：相似三角形的对应线段之比等于相似比，相似三角形面积之比等于相似比的平方.
【利用相似测量宽度】
图形
推理
结论
相似比
相似比为
对应高的比
由两角分别相等的两个三角形相似，得，再由相似三角形的定义，得
对应高的比等于相似比
对应中线的比
由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，得
，再由相似三角形的定义，得
对应中线的比等于相似比
对应角平分线的比

由两角分别相等的两个三角形相似，得，再由相似三角形的定义，得
对应角平分线的比等于相似比
几何图形的证明与计算
常见的类型是证明线段的数量关系，求线段的长度及图形的面积等.
解决实际问题
常见类项是计算物体的高度和河的宽度等，基本思想是建立相似三角形模型
定义
两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心.
性质
（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
（3）位似图形对应边平行（或在同一条直线上）；
（4）位似图形对应角相等；
（5）在平面直角坐标系中，如果原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标比等于
作图步骤
确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；描出新图形
基本图形
问题类型
测量不能直接到达的两点间的距离（如河流宽度）.
测量原理
构造相似三角形，利用“相似三角形对应边成比例”的性质求解.
构造相似图形模型
测量数据
求的长，可测量和的长
求的长，可测量的长
求的长，可测量的长
相关算式
已知，
则，
所以.
已知，
则，
所以.
已知，
则，
所以.