2025年陕西省西安市新城区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

这是一份2025年陕西省西安市新城区中考二模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分， 3200万件等内容，欢迎下载使用。
2025年初中学业水平考试模拟试题（一）
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、年级和座位号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 51D.
2. 用一个平面截一个几何体，得到截面是矩形，则这个几何体不可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，，点、分别在、上，于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A 67天B. 24天C. 25天D. 149天
5. 如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 3D. 4
6. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A. 6B. 4C. 9D. 8
7. 如图，内接于为的直径，点为劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分 （非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 写出不等式组的一个整数解___________．（写出一个即可）
10. 如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为___________．

11. 已知在菱形中，对角线与相交于点，点分别为的中点，若，则的长为___________．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，为坐标原点，点与点关于轴对称，点与点关于所在直线对称，连接，若的面积为6，则的值为___________．
13. 如图，为正方形对角线，点为的中点，点为上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，若四边形的面积为4，则正方形的边长为___________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
15. 解方程：．
16. 先化简，再求值：，其中．
17. 如图，已知，点在上，点在上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接交于点，使得与互余．（保留作图痕迹，不写作法）
18. 如图，点为矩形内一点，连接，若，求证：．
19. 在2025年3月22日第33届“世界水日”来临之际，某市开展了“节水惜水润万物·爱水护水益千秋”宣传活动．已知甲、乙两个工厂3月上旬共用水70吨，为了积极响应本市节水号召，甲工厂3月中旬用水量比上旬减少了，乙工厂3月中旬用水量比上旬减少了，两个工厂3月中旬共用水59吨，试求两个工厂3月上旬用水量分别为多少吨？
20. 通过化学学习我们知道，混合物和纯净物是物质存在的两种基本形态，性质和组成差异较大．为了加深对纯净物和混合物的理解，化学兴趣小组的玥玥和琪琪两位同学做了如下游戏：将一个可自由转动的转盘平均分成5个相等的扇形，并分别标上．干冰、．碘酒、．海水、．甲烷、．生铁，如图，每位同学转动一次转盘，转盘停止后，判断指针所指扇形对应的物质属于纯净物还是混合物（若指针刚好落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向某一扇形为止；这5种物质中，纯净物有干冰和甲烷，混合物有碘酒、海水和生铁）．
（1）“玥玥转动一次转盘，转盘停止后指针指向B．碘酒”是___________事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”）
（2）若玥玥和琪琪各自转动一次转盘，且他们对每一种物质的基本形态判断均正确，请用列表法或画树状图的方法求玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的概率．
21. 我们知道，液体的饱和蒸气压与外界压强相等时的温度，即液体沸腾时候的温度，就叫做液体的沸点．勤学善思的瑶瑶同学想通过数学知识测得生活中某种液体的沸点，通过询问老师得知，在均匀加热的情况下，该液体的温度与加热时间之间满足一次函数关系．瑶瑶同学回到家后在保证安全的情况下，采用均匀加热的方式，记录了加热时间与该液体的温度之间的几组对应值，如下表．
请你根据表中信息，解答下列问题：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）瑶瑶同学观察发现，当加热到9分钟时，该液体沸腾了，请你计算该液体的沸点．
22. 黄帝手植柏位于陕西省境内，享有“世界柏树之父”“中华第一柏”的美誉，象征着中华民族不屈不挠、生生不息的精神．杨洋同学旅游期间，想运用所学知识测量这棵柏树（如图1）的高度，如图2，他在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），站在点处，眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到树的最高点的像，他沿后退到点处，放置一个测角仪，测得树的最高点的仰角．经测量，杨洋同学眼睛到地面的距离米，米，米，测角仪的高度米，已知在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算黄帝手植柏的高度．【参考数据：，】
23. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据众数、中位数、平均数整理如下表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
24. 如图，内接于为的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求长．
25. 射水鱼是一种小型的观赏鱼类，它“枪打飞鸟”的捕食方式在鱼类中是极罕见的，因拥有精准的射水技巧而被称为自然界的神射手．一条射水鱼某次捕食时射出的水流轨迹呈抛物线形，如图所示，抛物线的最高点为点，以水流起点为坐标原点，分别以过点的水平直线和竖直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，图中所有的点都在同一平面内，已知水流抛物线满足关系式（为常数），且水流恰好击中了点处的一只昆虫．
（1）求的值；
（2）求水流抛物线最高点到轴的距离；
（3）已知距离轴高度的点处也有一只昆虫（点在抛物线对称轴的右侧），请问这只昆虫到轴的距离为多少时，恰好会被同一轨迹的水流击中？
26. 【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，，点为左侧一动点，连接于点，点为矩形内一点，连接，求面积的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，直线为一条笔直小路，矩形种植地的边在直线上，且米，赵叔叔计划对这块种植地重新进行规划利用，在边和点上方的小路上分别取点，使得，沿修建两条通道（记通道与的交点为），并在上取点，沿修建第三条通道，使得，在的内心处修建一个观赏台，并在内种植某种新品种作物，根据赵叔叔的规划要求，观赏台到两点的距离相等，请你计算此时的面积．
XC
2025年初中学业水平考试模拟试题（一）
数学
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、年级和座位号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. 51D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【详解】解：的相反数是51．
故选：C．
2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的截面，根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【详解】解：A. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
B. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
C. 截面不可能是矩形，故该选项符合题意；
D. 截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
故选：C．
3. 如图，，点、分别在、上，于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，根据平行线的性质可得出，由直角三角形两锐角互余可得，由平角的定义可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴
∴
又
∴
故选：D．
4. 我国古代《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A. 67天B. 24天C. 25天D. 149天
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查含乘方的有理数的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列出计算式进行计算即可．
【详解】解：由图可知，孩子自出生后的天数是，
故选A．
5. 如图，在中，，，为等边三角形，的边与的边均在直线上，且点与点到直线的距离相等，若，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】连接，利用直角三角形性质得到，再结合等边三角形性质证明四边形为平行四边形，最后利用平行四边形性质求解，即可解题．
【详解】解：连接，
点与点到直线的距离相等，
，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，等边三角形性质，直角三角形性质，平行四边形的性质和判定，解题的关键在于构造辅助线证明四边形为平行四边形．
6. 在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A. 6B. 4C. 9D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题，根据上加下减，左减右加的平移规律得到平移后的直线解析式，再求出平移后的直线与坐标轴的两个交点坐标即可得到答案．
【详解】解：将直线沿轴向下平移2个单位长度后，得到的直线解析式为，
在中，当，，当时，，
∴平移后的直线与坐标轴的两个交点坐标为，，
∴平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为，
故选：B．
7. 如图，内接于为的直径，点为劣弧上一点，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，得，由得，根据同弧所对圆周角相等得，从而可求出的度数．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴
∵，
∴，
∵所对的圆周角是，
∴，
∴
故选：A．
8. 已知抛物线（为常数，）上有四个点，若四个数中有且只有一个数大于0，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据题意求出对称轴，根据四个数中有且只有一个数大于0，得到不等式，进行计算即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对应点为，
，
抛物线与轴的交点为，
关于对称轴的对应点为，
若四个数中有且只有一个数大于0，
当时，在对称轴左侧随的增大而减小，
故，
，
解得，
当时，在对称轴左侧随的增大而增大，
四个数全都大于，不符合题意；
故选B．
第二部分 （非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 写出不等式组的一个整数解___________．（写出一个即可）
【答案】2（答案不唯一，填“3”或“4”也正确）
【解析】
【分析】本题主要考查不等式组的计算，熟练掌握不等式组的运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
解不等式②得：，
故不等式的解集为：，
故答案为：2（答案不唯一，填“3”或“4”也正确）．
10. 如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为___________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴
∵六边形是轴对称图形，
∴是它的一条对称轴，
∴
∵，即
∴
∴，
在中，
∴
由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
11. 已知在菱形中，对角线与相交于点，点分别为的中点，若，则的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，得出，再根据三角形中位线定理即可得到答案．
【详解】解：菱形，
，
，
，
，
点M、N分别为的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
12. 如图，点在反比例函数的图象上，为坐标原点，点与点关于轴对称，点与点关于所在直线对称，连接，若的面积为6，则的值为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，由对称性得到的面积为6．设，则利用三角形的面积公式得到关于k的方程，借助于方程来求k的值．
【详解】解：连接，
∵点与点关于对称，
∴
∴，
设，
∵点与点关于轴对称，
∴，
∴，
故答案为：6．
13. 如图，为正方形的对角线，点为的中点，点为上的动点（不与端点重合），连接，将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，连接，若四边形的面积为4，则正方形的边长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．连接，证明，推出，得到，即随着点的运动，点始终在过点且与垂直的直线上运动，根据列式计算即可求解．
详解】解：连接，如图，
∵正方形，点为对角线的中点，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，即随着点的运动，点始终在过点且与垂直的直线上运动，
∴，
∴
，
则，
∴，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算平方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
15. 解方程：．
【答案】方程无解
【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解检验即可．解题的关键是注意对分式方程的解进行检验．
【详解】解：，
去分母、去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
是方程增根，
故原分式方程无解．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并，得最简结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
17. 如图，已知，点在上，点在上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接交于点，使得与互余．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余等知识，过点P作的垂线，交于点H，则点H即为所作．
【详解】解：如图，点H即为所作，
18. 如图，点为矩形内一点，连接，若，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，根据等腰三角形的性质求出，根据矩形的性质求出，求出，根据推出即可．
【详解】证明：四边形是矩形，
．
，
．
在与中，
，
，
．
19. 在2025年3月22日第33届“世界水日”来临之际，某市开展了“节水惜水润万物·爱水护水益千秋”宣传活动．已知甲、乙两个工厂3月上旬共用水70吨，为了积极响应本市节水号召，甲工厂3月中旬用水量比上旬减少了，乙工厂3月中旬用水量比上旬减少了，两个工厂3月中旬共用水59吨，试求两个工厂3月上旬用水量分别为多少吨？
【答案】甲工厂3月上旬用水量为40吨，乙工厂3月上旬用水量为30吨．
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设甲工厂3月上旬用水量为吨，则乙工厂3月上旬用水量为吨，可得甲工厂3月中旬用水量为吨，乙工厂3月中旬用水量为吨，根据两个工厂3月中旬共用水59吨可列方程，求解即可．
【详解】解：设甲工厂3月上旬用水量吨，根据题意得，
，
解得，
（吨），
答：甲工厂3月上旬用水量为40吨，乙工厂3月上旬用水量为30吨．
20. 通过化学学习我们知道，混合物和纯净物是物质存在的两种基本形态，性质和组成差异较大．为了加深对纯净物和混合物的理解，化学兴趣小组的玥玥和琪琪两位同学做了如下游戏：将一个可自由转动的转盘平均分成5个相等的扇形，并分别标上．干冰、．碘酒、．海水、．甲烷、．生铁，如图，每位同学转动一次转盘，转盘停止后，判断指针所指扇形对应的物质属于纯净物还是混合物（若指针刚好落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向某一扇形为止；这5种物质中，纯净物有干冰和甲烷，混合物有碘酒、海水和生铁）．
（1）“玥玥转动一次转盘，转盘停止后指针指向B．碘酒”是___________事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”）
（2）若玥玥和琪琪各自转动一次转盘，且他们对每一种物质的基本形态判断均正确，请用列表法或画树状图的方法求玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的概率．
【答案】（1）随机 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查基本事件以及树状图求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）根据基本事件的定义进行判断即可；
（2）画出树状图，共有25种等可能情况，其中玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的情况有9种，根据概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意知，转盘停止后指针指向B可能发生也可能不发生，属于随机事件．
故答案为：随机．
【小问2详解】
解：根据题意画树状图如下
由树状图可知，共有25种等可能的情况，其中玥玥和琪琪判断的结果都是混合物的情况有9种，
．
21. 我们知道，液体的饱和蒸气压与外界压强相等时的温度，即液体沸腾时候的温度，就叫做液体的沸点．勤学善思的瑶瑶同学想通过数学知识测得生活中某种液体的沸点，通过询问老师得知，在均匀加热的情况下，该液体的温度与加热时间之间满足一次函数关系．瑶瑶同学回到家后在保证安全的情况下，采用均匀加热的方式，记录了加热时间与该液体的温度之间的几组对应值，如下表．
请你根据表中信息，解答下列问题：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）瑶瑶同学观察发现，当加热到9分钟时，该液体沸腾了，请你计算该液体的沸点．
【答案】（1）．
（2）该液体的沸点为．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数关系式是本题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将代入函数表达式，求出对应的值即可．
【小问1详解】
解：设与之间的函数关系式为．
根据题意，得，
解得，
与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：当时，，
该液体的沸点为．
22. 黄帝手植柏位于陕西省境内，享有“世界柏树之父”“中华第一柏”的美誉，象征着中华民族不屈不挠、生生不息的精神．杨洋同学旅游期间，想运用所学知识测量这棵柏树（如图1）的高度，如图2，他在地面上的点处放置一面平面镜（大小不计），站在点处，眼睛位于点处时，恰好在平面镜中看到树的最高点的像，他沿后退到点处，放置一个测角仪，测得树的最高点的仰角．经测量，杨洋同学眼睛到地面的距离米，米，米，测角仪的高度米，已知在同一水平线上，，图中所有的点都在同一平面内，请你计算黄帝手植柏的高度．【参考数据：，】
【答案】19.4米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于点，则，证明得，得出，在Rt中，，代入相关数据可求出米，即可得出结论．
【详解】解：延长交于点，如图．则，
四边形为矩形，
米，．
，
，
即
．
在Rt中，，
即，
解得米，
米，
即黄帝手植柏的高度为19.4米．
23. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取A、B两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示：
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表：
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中___________，___________；
（2）请计算表中的值；（需要写出计算过程）
（3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？
【答案】（1）20，15
（2）20． （3）3200万件．
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）运用加权平均数的计算公式求解即可；
（3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可．
【小问1详解】
解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多，
故众数；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15，
故中位数；
故答案为：20；15；
【小问2详解】
解：（万件），
表中的值为20．
【小问3详解】
解：（万件），
估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件．
24. 如图，内接于为的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质，圆周角定理和相似三角形和判定与性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，可得，，由得，由，故可得结论；
（2）证明为的中位线，可得，可证明得，求出，进一步可得结论．
【小问1详解】
证明：连接，如图．
为的切线，
，
，
即．
．
，
，即．
【小问2详解】
解：∵，
∴．
点为的中点，，
为的中位线，
，且，
，
．
．
．
25. 射水鱼是一种小型的观赏鱼类，它“枪打飞鸟”的捕食方式在鱼类中是极罕见的，因拥有精准的射水技巧而被称为自然界的神射手．一条射水鱼某次捕食时射出的水流轨迹呈抛物线形，如图所示，抛物线的最高点为点，以水流起点为坐标原点，分别以过点的水平直线和竖直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，图中所有的点都在同一平面内，已知水流抛物线满足关系式（为常数），且水流恰好击中了点处的一只昆虫．
（1）求的值；
（2）求水流抛物线最高点到轴的距离；
（3）已知距离轴高度的点处也有一只昆虫（点在抛物线对称轴的右侧），请问这只昆虫到轴的距离为多少时，恰好会被同一轨迹的水流击中？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
（1）将点代入解析式求出b的值即可解题；
（2）根据（1）种抛物线的解析式，根据顶点坐标公式计算解题；
（3）当时求出自变量的值，解答即可．
【小问1详解】
解：将点代入，
得，解得．
【小问2详解】
由（1）可得抛物线的函数表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
水流抛物线最高点到轴的距离为．
【小问3详解】
在中，令，
得，解得．
点在抛物线对称轴的右侧，
的值应为，
即这只昆虫到轴的距离为时，恰好会被同一轨迹的水流击中．
26. 【问题探究】
（1）如图1，在矩形中，，点为左侧一动点，连接于点，点为矩形内一点，连接，求面积的最小值；
【问题解决】
（2）如图2，直线为一条笔直小路，矩形种植地的边在直线上，且米，赵叔叔计划对这块种植地重新进行规划利用，在边和点上方的小路上分别取点，使得，沿修建两条通道（记通道与的交点为），并在上取点，沿修建第三条通道，使得，在的内心处修建一个观赏台，并在内种植某种新品种作物，根据赵叔叔的规划要求，观赏台到两点的距离相等，请你计算此时的面积．
【答案】（1）；（2）平方米
【解析】
【分析】（1）作的外接圆，连接，则点为矩形内上的动点，且，要使的面积最小，只需边上的高最小．取的中点，连接并延长，分别交劣弧和于点和，连接，再求解即可；
（2）由四边形是矩形可得．连接，如图2，则平分平分，可得，作的外接圆，连接，则点为矩形内上的动点，且，取的中点，连接并延长，分别交劣弧和于点和，连接，再求解即可．
【详解】解：（1）于点
，
，
作的外接圆，连接，如图1，
则点为矩形内上的动点，且，
，
四边形为矩形，
，
要使的面积最小，只需边上的高最小．
取的中点，连接并延长，分别交劣弧和于点和，
连接，如图1．
为的中点，
，
，
，
易得当点与点重合时，点到的距离最小，
即中边上的高最小，最小值为，
面积的最小值为．
（2）四边形是矩形，
．
，
，
，
连接，如图2，则平分平分，
，
．
作的外接圆，连接，如图2，
则点为矩形内上的动点，且，
，
取的中点，连接并延长，分别交劣弧和于点和，连接，如图2．
由可得垂直平分，
垂直平分
，
根据赵叔叔的规划要求，点应在点的位置．
四边形为矩形，
米，
又垂直平分垂直平分，
米，米，
米，米，
米，
米．
（平方米），
即此时面积为平方米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，最短线段问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握矩形的性质，圆的有关性质，垂线段最短．
加热时间/分钟
．．．
2
3
4
5
6
．．．
液体温度
．．．
36
44
52
60
68
．．．
分拣快递数量（万件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
型号
14和16
15
型号
20
加热时间/分钟
．．．
2
3
4
5
6
．．．
液体温度
．．．
36
44
52
60
68
．．．
分拣快递数量（万件）
16
17
20
22
23
机器人台数（台）
1
1
5
2
1
众数/万件
中位数/万件
平均数/万件
型号
14和16
15
型号
20