2025年重庆市西南大学附中高考数学诊断试卷（3月份）（含答案）

这是一份2025年重庆市西南大学附中高考数学诊断试卷（3月份）（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−8≤x30)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在Γ上，点Q满足PF2=3PQ，若Γ上存在点P使得F1Q⋅F2Q=0，则Γ的离心率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC．
(1)求A；
(2)若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是正三角形，A1A⊥BC，A1C⊥AB，侧面BB1C1C是矩形．
(1)求证：三棱锥A1−ABC是正三棱锥；
(2)若三棱柱ABC−A1B1C1的体积为2 2，AB=2，求直线AC1与平面AA1B1B所成角的正弦值．
17.(本小题12分)
已知圆F1：(x+2)2+y2=4，动圆C过F2(2,0)，且与圆F1外切设圆心C的轨迹为曲线Γ．
(1)求Γ的方程；
(2)设定点D(−1,0)，过F2作直线l交曲线Γ于A、B两点，直线DA，DB分别交直线x=12于P、Q两点，求|AB||PQ|的最小值．
18.(本小题12分)
某汽车公司研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x−(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75，根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x−，σ近似为样本标准差s．
(ⅰ)利用该正态分布，求P(X≤250.25)；
(ⅱ)假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程X≤250.25的车辆数，求E(Z)；
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ0，
故m(x)单调递增，故m(x)>m(e)=ee−e2>0，故ex>x2(x>e)，
∴当x>e，ex>x2，
∴ℎ′(2k)=e2k−(2k)2>0，
故∃t1∈(0,ln2k)，∃t2∈(ln2k,2k)，使得ℎ′(t1)=ℎ′(t2)=0，
∴ℎ(x)在(−∞,t1)，(t2,+∞)单调递增，在(t1,t2)单调递减，故ℎ(x)有两个极值点，
综上，ke2时，ℎ(x)有两个极值点，
(ⅱ)证明：由(i)知，k0，故ℎ(x)无零点，不满足题意，
当k>e2时，ℎ(x)有两个正数极值点，不妨设极大值点为x2，极小值点为x1，
由(i)可知00，此时n2(x)=ex−6x单调递增，
故n2(x)=ex−6x>e2e−12e>e5−12e=e(e4−12)>0，故n′(x)单调递增，
故n′(x)>n′(2e)=e2e−12e2−1>e5−12e2−1=e2(e3−12)−1>e2(2.73−12)−1>0，
故n(x)单调递增，
则n(x)=ex−(x3+x)>e2e−(8e3+2e)=e[e2(e2e−3−8)−2]=e[e2(e2e0.4−8)−2]
>e[e2(1.2e2−8)−2]>e[e2(1.2×7.29−8)−2]>0，
故x>2e时，ex>x3+x，
∴ℎ(4k)=e4k−k((4k)2+1)>4k((4k)2+1)−k((4k)2+1)=3k((4k)2+1)>0，
又ℎ(x1)=−k(x1−1)21)，φ′(x)=(2x+2)ex−8x，
p(x)=ex−x−1，p′(x)=ex−1，
当x0，
∴p(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
∴p(x)≥p(0)=0，故ex≥x+1，
∴φ′(x)=(2x+2)ex−8x≥(2x+2)(x+1)−8x=2(x−1)2≥0，
即φ(x)=2xex−4x2−1在(1,+∞)上单调递增，故φ(x)>φ(1)=2e−5>0，
ℎ(2x1)>0=ℎ(x0)，又ℎ(x)在(x1,+∞)上单调递增，∴2x1>x0，
综上：若x1为ℎ(x)的极小值点，x0为ℎ(x)的零点时，恒有2x1>x0．