河南省郑州市2025届高三下学期第二次质量预测数学试卷（含答案）

这是一份河南省郑州市2025届高三下学期第二次质量预测数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合M={x|lnx0,−2x3−ax2+1,x⩽0,∀x∈(0,+∞)，有f(x)⋅f(−x)≥0恒成立，则a的取值范围是( )
A. [1,+∞)B. [1,2 2]C. [1e,2]D. [1,3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z+1|+|z−1|=4，则下列说法正确的是( )
A. |z|≤2B. |z−1|≥1
C. 若z∈R，则|z|=2D. 若z2∈R，则|z|=2
10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则( )
A. 过点E有且只有一条直线与直线AB和A1D1都相交
B. 过点E有且只有一个平面与直线AB和A1D1所成角相等
C. 过A，D1，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的周长为2 2+ 5
D. 点Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹长度 2
11.已知对于任意非零实数x，函数f(x)均满足f(x)=f(2x)，f(x)= 2−f(1x)，下列结论正确的有( )
A. f(1)=1
B. f(2x)关于点(0,1)中心对称
C. f(2x)关于x=1轴对称
D. f(2)+f(22)+f(23)+⋯+f(210)=10
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,2)，向量b在向量a方向上的投影向量的模长为12|a|，写出一个满足条件的向量b= ．
13.设F1，F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F2且斜率为−34的直线l与C的右支交于点A，与C的左支交于点B，点D满足BD=12BA，BD⋅F1D=0，则双曲线C的离心率为 ．
14.已知正四棱锥M−P1P2P3P4的底面边长与高均为2，设D是正方形P1P2P3P4及其内部的点构成的集合，点P0是正方形P1P2P3P4的中心，若集合S={P|P∈D,|PP0|≤|PPi|,i=1,2,3,4}，则直线MP与平面P1P2P3P4所成角的正切值的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率.多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率.为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时;100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人，
(Ⅰ)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值α=0.005的χ2独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
(Ⅱ)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为56，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为23，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(csA+
3sinA)=a+c．
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若a=2，c=5，AC，AB边上的中线BE，CF相交于点M．
(ⅰ)求BE;
(ⅱ)求cs∠EMF．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=(a−x)ex，a∈R.
(Ⅰ)若a=2，求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)若不等式f(x)>1−x没有整数解，求实数a的取值范围．
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2n=2an+1，S4=4(a3−1)，n∈N∗．
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=k,n=ak,bn−1+k,n=ak+1,其中k是正整数．
(ⅰ)求b1，b2，b3，b4;
(ⅱ)求i=12nbi(n∈N∗).
19.(本小题17分)
若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体ABCD中，Ei(i=1,2,3,⋯,6)分别为所在棱的中点，如图所示．
(Ⅰ)求证：E1E2⊥平面E3E5E4E6;
(Ⅱ)若E1E2= 6，E3E4=E5E6=2，求二面角A−BC−D的大小;
(Ⅲ)在空间直角坐标系O−xyz中，xOy平面内有椭圆H:x22+y2=1，直线x=my+1与H交于M，N两点.P为空间中一点，若四面体P−MNO为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.D
5.A
6.A
7.C
8.D
9.ABC
10.AD
11.ABD
12.(1,1)，(0,2)，(0,−2)，(2,0)，(−2,0)(答案不唯一，写出任意一个都对);
13.5 77
14.2
15.解：(Ⅰ)列联表如下：
零假设为H0:学生患近视与户外活动时间长短无关．
根据列联表中的数据，经计算得到χ2=100×(35×30−25×10)260×40×45×55=3200297≈10.774>7.897=x0.05，
根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
(Ⅱ)设事件A=“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件B1=“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，B2=“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，
则P(B1)=2560=512，P(B2)=3560=712，且P(A|B1)=56，P(A|B2)=23，
则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=512×56+712×23=5372，
所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为5372．
16.解：(Ⅰ)由正弦定理得sinB(csA+ 3sinA)=sinA+sinC，
∴sinBcsA+ 3sinBsinA=sinA+sin(A+B)，∴ 3sinBsinA=sinA+sinAcsB，
∵sinA≠0，∴ 3sinB=1+csB，
∴sin(B−π6)=12．
∵−π6xex−x+1，即a>x−x−1ex没有整数解．
设ℎ(x)=x−x−1ex，ℎ′(x)=1−2−xex=ex+x−2ex，
设t(x)=ex+x−2，t′(x)=ex+1>0，所以t(x)单调递增，且t(0)=−1，t(1)=e−2>0，
所以存在唯一的x0∈(0,1)，使t(x0)=0，即ℎ′(x0)=0，
当x∈(−∞,x0)时，ℎ′(x)0，ℎ(x)单调递增，又ℎ(0)=ℎ(1)=1，
所以当x∈Z时，ℎ(x)≥1，
当a≤1时，a>ℎ(x)没有整数解，即f(x)>1−x没有整数解．
18.解：(Ⅰ)由题意得a1+(2n−1)d=2a1+2(n−1)d+14a1+6d=4(a1+2d−1),，解得a1=1,d=2.
∴{an}的通项公式为an=2n−1；
(Ⅱ)(i)∵bn=k,n=2k−1,bn−1+k,n=2k,其中k是正整数，
∴b1=1，b2=b1+1=2，b3=2，b4=b3+2=4；
(ii)i=12n bi=b1+b2+b3+⋯+b2n=(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+(b2+b4+b6+⋯+b2n)
=(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+[(b1+1)+(b3+2)+(b5+3)+⋯+(b2n−1+2n−1)]
=2(b1+b3+b5+⋯+b2n−1)+(1+2+3+⋯+2n−1)
=2(1+2+3+⋯+2n−1)+(1+2+3+⋯+2n−1)
=3(1+2+3+⋯+2n−1)
=3×2n−1(1+2n−1)2
=3(2n−2+22n−3).
19.解：(1)连接E1E3，E3E2，E2E4，E4E1，因为E3E2//12BD，E1E4//12BD，
所以E3E2//E1E4，四边形E1E3E2E4为平行四边形，又E1E3//12AC，AC=BD，
所以E1E3=E3E2，所以四边形E1E3E2E4为菱形，所以E1E2⊥E3E4，
同理，四边形E1E5E2E6为菱形，E1E2⊥E5E6，
又因为四边形E3E5E4E6为菱形，E3E4，E5E6交于一点，
所以E1E2⊥平面E3E5E4E6．
(2)如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系D−xyz，
由E1E2= 6，E3E4=E5E6=2，得A(2,0,2)，B(0, 6,2)，C(2, 6,0)，AB=(−2, 6,0)，AC=(0, 6,−2)，
设平面ABC的一个法向量为m=(x,y,z)，则AB⋅m=−2x+ 6y=0,AC⋅m= 6y−2z=0,
令y=2，得m=( 6,2, 6)，
DB=(0, 6,2)，DC=(2, 6,0)，
设平面BCD的一个法向量为n=(a,b,c)，则DB⋅n= 6b+2c=0,DC⋅n=2a+ 6b=0,
令b=−2，得n=( 6,−2, 6)，
所以cs=m⋅n|m|⋅n=6−4+6 6+4+6⋅ 6+4+6=816=12．
所以二面角A−BC−D的大小为π3．
(3)由(2)知可将P−MNO补成长方体，设长宽高分别设为a，b，c，
则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即：R=12 a2+b2+c2，
S=4πR2=π(a2+b2+c2)，
MN2=a2+b2，NO2=b2+c2，MO2=a2+c2，则S=12(MN2+MO2+NO2)π，
在xOy平面内设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由x22+y2=1x=my+1得(m2+2)y2+2my−1=0，
显然△=(2m)2+4(2+m2)=8m2+8>0，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，
于是MN2=(1+m2)(y1−y2)2=(1+m2)8(1+m2)(m2+2)2=8(1+m2)2(m2+2)2，
MO2+NO2=x12+y12+x22+y22=2−2y12+y12+2−2y22+y22=4−(y12+y22)
=4−(y1+y2)2+2y1y2=4m4+10m2+12(m2+2)2，
所以S=12(MN2+MO2+NO2)π=π2⋅12m4+26m2+20(m2+2)2=6m4+13m2+10(m2+2)2π
在△MNO中，cs∠MON=MO2+NO2−MN22MO⋅NO=c2MO⋅NO>0，则∠MON为锐角，
因此OM⋅ON>0，即x1x2+y1y2>0。
x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=−(m2+1)m2+2−2m2m2+2+1>0，
解得m2