2024年江苏省镇江市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年江苏省镇江市中考数学试卷【含解析】，共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）（2024•镇江）﹣100的绝对值等于 ．
2．（2分）（2024•镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
3．（2分）（2024•镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 ．
4．（2分）（2024•镇江）分解因式：x2+3x＝ ．
5．（2分）（2024•镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ．
6．（2分）（2024•镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ ．
7．（2分）（2024•镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1 y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）．
8．（2分）（2024•镇江）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 环．
9．（2分）（2024•镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ ．
10．（2分）（2024•镇江）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
11．（2分）（2024•镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ （结果保留π）．
12．（2分）（2024•镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）（2024•镇江）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A．1.731×104B．17.31×103C．1.731×103D．17.31×102
14．（3分）（2024•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．m3•m3＝m6B．m3+m3＝m6C．（m3）2＝m5D．m6÷m2＝m3
15．（3分）（2024•镇江）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类
B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况
D．某品牌灯泡使用寿命
16．（3分）（2024•镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
17．（3分）（2024•镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A．2B．2C．2D．2
18．（3分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2或m＞2B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2D．m＜﹣2或0＜m＜2
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（2024•镇江）（1）计算：（）0﹣4cs30°；
（2）化简：（1）．
20．（10分）（2024•镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）（2024•镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ °．
22．（6分）（2024•镇江）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
23．（6分）（2024•镇江）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） 图能更好地反映各组试验的总次数， 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
24．（6分）（2024•镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
25．（6分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝2x+m的图象与x轴、y轴交于A（﹣3，0）、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C（1，n）．（1）求m和k的值；
（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y（k≠0）的图象上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 ．
26．（8分）（2024•镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB＝AC，sin，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20cm，DF＝FG＝GJ＝30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN＝MN+EM+AD﹣ ；
（2）如图4，sin∠MEN≈ ，由 AN＝EN+AE＝EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 ；
【解决问题】
（3）求MN的长．
27．（11分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ ；
②求t的取值范围；
③求OD•DB的最大值．
28．（11分）（2024•镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点．
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上．
①作线段EF的中点；
②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．
2024年江苏省镇江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共计24分.）
1．（2分）（2024•镇江）﹣100的绝对值等于 100 ．
【解答】解：|﹣100|＝100，即﹣100的绝对值等于100，
故答案为：100．
2．（2分）（2024•镇江）要使分式有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【解答】解：当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式有意义．
故答案为：x≠2．
3．（2分）（2024•镇江）一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为 1 ．
【解答】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1．
故答案为：1．
4．（2分）（2024•镇江）分解因式：x2+3x＝ x（x+3） ．
【解答】解：x2+3x＝x（x+3）．
5．（2分）（2024•镇江）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 6 ．
【解答】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
∵6+6＞2，
∴能构成三角形，
∴第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
∵2+2＜6，
∴不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
6．（2分）（2024•镇江）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD．若AC＝8，CD＝5，则BD＝ 3 ．
【解答】解：∵AC＝8，CD＝5，
∴AD＝8﹣5＝3，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴BD＝AD＝3．
故答案为：3．
7．（2分）（2024•镇江）点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，则y1 ＜ y2（用“＜”、“＝”或“＞”填空）．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（1，y1）、B（2，y2）在一次函数y＝3x+1的图象上，且1＜2，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
8．（2分）（2024•镇江）小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为 7.5 环．
【解答】解：射击成绩从小到大重新排列为：4，5，7，8，9，10，
∴中位数为（7+8）÷2＝7.5．
故答案为：7.5．
9．（2分）（2024•镇江）如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB＝18°，则n＝ 10 ．
【解答】解：∵∠ACB＝180°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝2×18°＝36°，
∴n＝360°÷36°＝10，
故答案为：10．
10．（2分）（2024•镇江）关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 9 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，
解得m＝9．
故答案为：9．
11．（2分）（2024•镇江）如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB＝1，∠D＝60°，则的长l＝ π （结果保留π）．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝60°，
由题意得：AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝1，
∴lπ．
故答案为：π．
12．（2分）（2024•镇江）对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【解答】解：将二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到y＝x2﹣2ax，
当x＝0时，y＝0，
∴平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当a＝﹣1时，则y＝x2+2x+3，
令x2+2x+3＝﹣x，即x2+3x+3＝0，
∵Δ＝32﹣4×1×3＝﹣3＜0，
∴抛物线y＝x2+2x+3与直线y＝﹣x没有交点，
∵抛物线开口向上，
∴当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；
故②正确；
∵二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），
∴开口向上，对称轴为直线x＝a，
∴当x＞a时，函数值y随自变量x增大而增大，
故③错误；
∵y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2，
∴顶点为（a，3﹣a2），
∵3﹣a2≤3，
故④正确．
故答案为：①②④．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求.）
13．（3分）（2024•镇江）早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球．数据1731用科学记数法表示为（ ）
A．1.731×104B．17.31×103C．1.731×103D．17.31×102
【解答】解：1731＝1.731×103，
故选：C．
14．（3分）（2024•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．m3•m3＝m6B．m3+m3＝m6C．（m3）2＝m5D．m6÷m2＝m3
【解答】解：m3•m3＝m6，故此选项符合题意；
B、m3+m3＝2m3，故此选项不符合题意；
C、（m3）2＝m6，故此选项不符合题意；
D、m6÷m2＝m4，故此选项不符合题意；
故选：A．
15．（3分）（2024•镇江）下列各项调查适合普查的是（ ）
A．长江中现有鱼的种类
B．某班每位同学视力情况
C．某市家庭年收支情况
D．某品牌灯泡使用寿命
【解答】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B．
16．（3分）（2024•镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A．4.5米B．4米C．3.5米D．2.5米
【解答】解：设返回过程中小杰身高为FH，
由FH∥AB∥EC，
得，
由GB＜DB，
得GH＜DC＝3．
故选：D．
17．（3分）（2024•镇江）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y（单位：L）关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是（ ）
A．2B．2C．2D．2
【解答】解：由图象知：甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油40﹣24＝16（L），乙车耗油40﹣20＝20（L），
由题意得：2．
故选：B．
18．（3分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，过点A（m，0）且垂直于x轴的直线l与反比例函数y的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2或m＞2B．﹣2＜m＜2且m≠0
C．﹣2＜m＜0或m＞2D．m＜﹣2或0＜m＜2
【解答】解：当A在原点右侧时，B点坐标为（m，），
∵直线l绕点B逆时针旋转45°，
∴所得的直线与直线y＝﹣x平行，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b＞0，
∵B在直线y＝﹣x+b上，
∴﹣m+b，
∴b＝m0，
∵m＞0，
∴m2﹣4＞0，
∴m＞2；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y＝﹣x+b′，
同理：b′0，
∵m＜0，
∴m2﹣4＜0，
∴﹣2＜m＜2，
∵m＜0，
∴﹣2＜m＜0．
m的取值范围是﹣2＜m＜0或m＞2．
故选：C．
三、解答题（本大题共有10小题，共计78分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）（2024•镇江）（1）计算：（）0﹣4cs30°；
（2）化简：（1）．
【解答】解：（1）
＝1
＝1
＝1；
（2）（1）


．
20．（10分）（2024•镇江）（1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1），
方程两边同乘x（x+1），得3（x+1）＝2x，
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x+1）≠0，
所以原分式方程的解是x＝﹣3；
（2），
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x＞1，
所以不等式组的解集是1＜x≤4．
21．（6分）（2024•镇江）如图，∠C＝∠D＝90°，∠CBA＝∠DAB．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若∠DAB＝70°，则∠CAB＝ 20 °．
【解答】（1）证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（AAS）；
（2）解：∵∠DAB＝70°，∠D＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣70°＝20°，
由（1）知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB＝∠DBA＝20°，
故答案为：20．
22．（6分）（2024•镇江）3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上．
（1）洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于 ；
（2）洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率．
【解答】解：（1）∵3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
∴洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率，
故答案为：；
（2）把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
∴抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为．
23．（6分）（2024•镇江）有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同．实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
（1） B 图能更好地反映各组试验的总次数， A 图能更好地反映各组试验摸到红球的频数（填“A”或“B”）；
（2）求实践组摸到黄球的频率；
（3）根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息（写出一条即可）？
【解答】解：（1）B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为：B，A．
（2）实践组摸到黄球的频率＝（500﹣372）÷500＝0.256；
（3）实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率（答案不唯一）．
24．（6分）（2024•镇江）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB＝90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【解答】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
25．（6分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y＝2x+m的图象与x轴、y轴交于A（﹣3，0）、B两点，与反比例函数y（k≠0）的图象交于点C（1，n）．（1）求m和k的值；
（2）已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y（k≠0）的图象上．当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标 （6，）或（﹣6，） ．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+m的图象过A（﹣3，0），
∴2×（﹣3）+m＝0，
∴m＝6，
∵C（1，n）在函数y＝2x+6的图象上，
∴n＝2×1+6＝8，
∵C（1，8）在函数y图象上，
∴k＝8；
（2）当x＝0时，y＝2x+6＝6，
∴OB＝6，
∵四边形OEDB是正方形，
∴OE＝OB＝6，
当P在反比例函数y（k≠0）的图象右半支上，
设P的坐标是（a，），
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴OB•aOB2，
∴a＝OB＝6，
∴，
∴P的坐标是（6，），
当P在反比例函数y（k≠0）的图象左半支上，
设P的坐标是（b，），
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴OB•（﹣b）OB2，
∴b＝﹣OB＝﹣6，
∴，
∴P的坐标是（﹣6，），
综上P的坐标为（6，）或（﹣6，）．
26．（8分）（2024•镇江）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB＝AC，sin，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE＝FM＝GH＝JK＝20cm，DF＝FG＝GJ＝30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示．
【分析问题】
（1）如图5，用图中的线段填空：AN＝MN+EM+AD﹣ DE ；
（2）如图4，sin∠MEN≈ ，由 AN＝EN+AE＝EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为 MN+10＝EN ；
【解决问题】
（3）求MN的长．
【解答】解：（1）∵点A和点E重合，
∴EM＝AM，AD＝DE，
∴AN＝MN+AM＝MN+EM＝MN+EM+AD﹣AD＝MN+EM+AD﹣DE，
故答案为：DE；
（2）∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE∥FM，
∵DE＝FM＝20cm，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM∥DF，
∴∠MEN＝∠BAC，
∴sin∠MEN＝sin∠BAC，
∵AN＝MN+EM+AD﹣DE，AN＝EN+AD，
∴MN+EM+AD﹣DE＝EN+AD，
∴MN+EM﹣DE＝EN，
∴MN+30﹣20＝EN，
∴MN+10＝EN，
故答案为：，MN+10＝EN；
（3）如图，
作MW⊥AC于W，
∴∠MWN＝∠MWE＝90°，
∴MW2+WN2＝MN2，MW＝EM•sin∠MEN＝3024，
∴EW18，
设MN＝a，则EN＝a+10，WN＝EN﹣EW＝a+10﹣18＝a﹣8，
∴242+（a﹣8）2＝a2，
∴a＝40，
∴MN＝40cm．
27．（11分）（2024•镇江）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y（x﹣1）2+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）一个二次函数的图象经过B、C、M（t，4）三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为（3，0），则t＝ 6 ；
②求t的取值范围；
③求OD•DB的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数y（x﹣1）2+4的图象的顶点为C，
∴C（1，4）；
令y（x﹣1）2+4＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
（2）①由题知，该函数过点B（4，0），C（1，4），D（3，0），
∴函数的解析式为：y′＝a（x﹣4）（x﹣3），
∴函数的对称轴为直线x，
∵C（1，4），M（t，4），
∴点C，M关于对称轴对称，
∴，
∴t＝6，
故答案为：6；
②方法一、∵点D在线段OB上，
∴DB＜OB＝4，
∴点B到对称轴的距离小于2，
设该二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（m，0），
∵4﹣m＜2，
∴m＞2，
根据对称轴的性质，得t﹣m＝m﹣1，
∴m；
方法二、
设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，
将M（t，4）C（1，4）两点代入，得，
∴a（t2﹣1）+b（t﹣1）＝0，
∵t≠1，
∴，
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为（，0），
∵B，D两点关于对称轴对称，点B（4，0），
∴D（t﹣3，0），
∵点D在线段OB上，且与端点不重合，
∴，即3＜t＜7，
∵t＝4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3＜t＜7且t≠4；
③∵OD＝t﹣3，DB＝7﹣t，
∴OD•DB＝（t﹣3）•（7﹣t）．
∴OD•DB＝﹣t2+10t﹣21＝﹣（t﹣5）2+4，
∵3＜t＜7且t≠4，
∴t＝5时，OD•DB有最大值，最大值为4．
28．（11分）（2024•镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点．
理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点．
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上．
①作线段EF的中点；
②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF；
（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．
（3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．
【解答】解：【实践操作】
（1）①如图，
点M即为所求作的点；
②如图，
点P即为所求作的点；
（2）如图，
作法一、
作法二、
点N，M即为所求作的点；
【探索发现】（3）如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
点Q即为所求的点．
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