江苏省2023_2024学年高一数学下学期3月阶段性考试

这是一份江苏省2023_2024学年高一数学下学期3月阶段性考试，共7页。试卷主要包含了若复数，已知，则，在中，设为锐角，若，则的值为，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（）
A.-5 B.5 C. D.
2.设都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（）
A. B.
C. D.
3.已知和是两个不共线的向量，若，且，三点共线，则实数的值为（）
A. B.1 C. D.-1
4.在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（）
A.1 B. C. D.-1
5.已知，则（）
A. B. C. D.
6.在中.点是边的中点，且满足，则（）
A. B. C. D.
7.设为锐角，若，则的值为（）
A. B. C. D.
8.1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余剧，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示.现已知，则该函数的最小值为（）
A. B. C.1 D.2
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9.已知，且，则（）
A. B.
C. D.
10.设为复数，为虚数单位，则下列命题中正确的是（）
A. B.
C. D.若，则的最大值为2
11.设点在所在平面内，且点分别为该三角形的重心､重心､外心和内心，则下列结论正确的是（）
A.若且，则；
B.；
C.若，则为等腰三角形；
D.若，则.
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
13.复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为__________.
14.已知是锐角，，则的值为__________.
15.已知平面向量满足，且对任意都有，则的最大值是__________.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.已知，且，
（1）求的值：
（2）求与的夹角.
16.（1）若，求；
（2）已知，且为锐角，求的大小.
17.已知函数.
（1）求函数的周期及在上的值域；
（2）若为锐角且，求的值.
18.对于集合和常数，定义：为集合相对的的“余弦方差”.
（1）若集合，求集合相对的“余弦方差”；
（2）若集合，是否存在，使得相对任何常数的“余弦方差”是一个与无关的定值？若存在，求出的值：若不存在，则说明理由.
19.在中，点是内一点，
（1）如图，若，过点的直线交直线分别于两点，且，已知为非零实数.试求的值.
（2）若，且，设，试将表示成关于的函数，并求其最小值.
参考答案
一､单选题
1-8ACBB ADDC
二､多选题：
9.BC 10.ABD 11.AC
三､填空题
13. 14. 15.6
四､解答题：
15.（1）由展开结合得
（2）.所以
所以
又因为.所以.
16.（1），
；
.
（2）因为，且为锐角，所以，
因为，且为锐角，所以，
要么，
所以，
因为，所以.所以，故
17.（1）由函数，
则函数的最小正周期为
又由，可得，当时，即时，取得最大值，
最大值为：当时，即时，取得最小值，最小值为，所以函数的值域为
（2）由，因为，可得，即，
又因为，可得，又由，所以，可得.
则
18.（1）因为集合，所以：
（2）由“余弦方差”的定义得：
要使是一个与无关的定值，可令由①2+②2得
，又因为所以
所以
代入②，化简得，又因为
所以，即时，相对任何常数.的“余弦方差”是一个与无关的定值
19.（1）一方面，
故.
另一方面，由M，P，N三点共线知，
所以可变为
消去，得，组
（2）法一：设，
，
同理：，
当目仅当时，所以
法二：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴建立.直角坐标系，设，因为
且，故设.
由得，由得.代入可得
（下同法一）