2024-2025学年浙江省杭州联谊学校高三下学期3月月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州联谊学校高三下学期3月月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3}，B={x∈N|x20，则f(f(1))=( )
A. −1B. −1eC. 1D. e
6.已知两条相交直线a，b，a在平面α内，b在平面α外.设a，b的夹角为θ1，直线b与平面α所成角为π2−θ1，sinθ1=2 55，则由a，b确定的平面与平面α夹角的大小为( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
7.设抛物线C：x2=4y的焦点为F，斜率为12的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|+|BF|=7，则cs∠AFB的值为( )
A. 0B. −45C. − 32D. − 74
8.在△ABC中，“sin2A+sin2B=sin(A+B)”是“C为直角”的( )
A. 充分但非必要条件B. 必要但非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则下列说法正确的有( )
A. a0=1
B. a3=20
C. 该二项式的所有二项式系数之和为64
D. a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=729
10.已知函数f(x)=sin(π4+x)，g(x)=2f(x)f(−x)f(x+π4)，下列说法正确的有( )
A. f(x)的最小正周期为2πB. g(x)是偶函数
C. g(x)在区间(0,π2)上单调递减D. g(x)在[0,π2]上的值域为[− 69,1]
11.已知正项等差数列{an}与正项等比数列{bn}首项相等，且满足a1+b1=a2，a2+b2=b3，则下列说法中正确的有( )
A. {bn}的公比为2 B. ∃m≥3，使得am=bm
C. 对∀λ0)的上顶点与右顶点分别为A，B，若直线AB的倾斜角为56π，则C的离心率为______．
13.已知函数f(x)=x3−6x2+9x在x=a处取得极大值，在x=b处取得极小值，若f(x)在[0,m]上的最大值为a+b，则m的最大值为______．
14.有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排，且第k个位置上的卡片恰好写有数字k.然后掷一颗均匀的骰子，若点数为n，则将第n个位置上的卡片翻面并置于原处.进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表：
单位：人
(1)依据α=0.05的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？
(2)以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有X位学生的语文成绩优秀，求随机变量X的分布列以及数学期望．
附：
χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
16.(本小题15分)
已知等轴双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，经过点F2的直线与C的渐近线相交于点M，N，点M的横坐标为−1，N是线段F2M的中点，经过点F1的直线l与C相交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)当△ABF2的面积为4 103时，求l的方程．
17.(本小题15分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6，O为AB的中点，D，E分别为AB，AC边上一点，满足AD=1，DE//OC.将△ADE，△BOC分别沿着DE，OC翻折成△A′DE，△B′OC，满足A′，B′平面CODE的同一侧，A′D⊥面CODE，B′O⊥面CODE．
(1)证明：A′，B′，C，E共面；
(2)在线段B′C上是否存在一点F(异于端点)，满足EF//平面A′DOB′？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；
(3)在(2)的情况下，求直线CE与平面ODF所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知a，b∈R，函数f(x)=xe−x−aex+b．
(1)若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=2(x+1)，求a+b的值；
(2)若函数f(x)在R上单调递增，求a的取值范围；
(3)若对∀b∈R，函数f(x)至多有两个零点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
对任意给定的n∈N∗，若有穷数列{an}满足：am=k=1nXk,m−1，(∀m≤n且m∈N∗)，其中Xk,i=0,ak≠i1,ak=i，则称该数列为“D数列”．
(1)当n∈{1,2)时，是否存在符合条件的“D数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“D数列”：若不存在，请说明理由；
(2)证明：(i)a1+a2+a3+…+an=n；
(ii)当n≥7时，任意符合条件的“D数列”都满足a2≥2；
(3)当n=20时，求出所有的“D数列”．
答案解析
1.B
【解析】解：集合B={x∈N|x20，则f(1)=ln1−1=−1，
则f(f(1))=f(−1)=−1e．
故选：B．
根据题意，由函数的解析式，求出f(1)的值，进而计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
6.B
【解析】解：设直线a，b的交点为O，过直线b上异于点O的一点P作平面α的垂线，设垂足为B，过点B作BA⊥a，垂足为A，连接PA，如图：
因为PB⊥α，所以OB为直线b在平面α内的投影，
所以直线b与平面α所成角为∠POB，
由已知∠POA=θ1，∠POB=π2−θ1，
因为PB⊥α，a⊂α，所以PB⊥a，
又AB⊥a，PB∩AB=B，PB，AB⊂平面PAB，
所以直线OA⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，
所以PA⊥OA，即PA⊥a，
所以由a，b确定的平面与平面α夹角为∠PAB，
在Rt△PAB中，sin∠PAB=PBPA，
在Rt△POB中，sin∠POB=PBOP，即sin(π2−θ1)=PBOP，
在Rt△POA中，sin∠POA=PAOP，即sinθ1=PAOP，
所以sin∠PAB=PBPA=sin(π2−θ1)sinθ1=csθ1sinθ1，
又sinθ1=2 55，θ1∈(0,π2],
所以csθ1= 1−sin2θ1= 55，所以sin∠PAB=12，
又∠PAB∈[0,π2]，所以∠PAB=π6，
所以由a，b确定的平面与平面α夹角的大小为π6．
故选：B．
设直线a，b的交点为O，过直线b上异于点O的一点P作平面α的垂线，设垂足为B，过点B作BA⊥a，垂足为A，连接PA，由已知可得∠POA=θ1，∠POB=π2−θ1，根据平面与平面夹角定义可得由a，b确定的平面与平面α夹角为∠PAB，解三角形求夹角大小．
本题主要考查平面与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
7.B
【解析】解：已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，
则F(0,1)，
又斜率为12的直线过点F，
则直线的方程为y=12x+m，
联立y=12x+mx2=4y，
消x可得：y2−(2m+1)y+m2=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=2m+1，
又|AF|+|BF|=7，
则y1+y2+2=7，
即m=2，
即y2−5y+4=0，
则y=4或y=1，
不妨设y1=4，y2=1，
即A(4,4)，B(−2,1)，
则|AB|=3 5，
又|AF|=5，|BF|=2，
则cs∠AFB=|AF|2+|BF|2−|AB|22|AF||BF|=25+4−452×5×2=−45．
故选：B．
由已知可设直线的方程为y=12x+m，联立y=12x+mx2=4y，消x可得：y2−(2m+1)y+m2=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得y1+y2=5，求出m，然后求出|AF|，|BF|，最后结合余弦定理求解即可．
本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系与余弦定理，属中档题．
8.C
【解析】解：若sin2A+sin2B=sin(A+B)，则sin2A+sin2B=sinAcsB+csAsinB，
结合正弦定理得asinA+bsinB=acsB+bcsA，可知A、B均为锐角．
整理得a(sinA−csB)+b(sinB−csA)=0…(1)，
当0